Симетрала на отсечка

[Гост]

Здравейте, математици!
Може ли точката Q да лежи на продължението на АС, макар да не е упоменато в условието, че точката е външна? Как мислите?

[ammornil]

Screenshot 2026-03-18 151757.png (49.95 KiB) Прегледано 203 пъти

$\\[24pt] \quad $Подсказки:$\\[6pt] \quad $Външен ъгъл на триъгълник е равен на сбoра от несъседните му вътрешни ъгли на триъгълника.$\\[6pt] \quad $Симетралата на една отсечка е ъглополовяща на всеки ъгъл, чийто връх лежи на симетралата и раменете му минават през краищата на отсечката.

[Гост]

Screenshot 2026-03-18 151757.png

$\\[24pt] \quad $Подсказки:$\\[6pt] \quad $Външен ъгъл на триъгълник е равен на сбoра от несъседните му вътрешни ъгли на триъгълника.$\\[6pt] \quad $Симетралата на една отсечка е ъглополовяща на всеки ъгъл, чийто връх лежи на симетралата и раменете му минават през краищата на отсечката.

Аз подходих по същия начин с чертеж, в който ъглополовящата е външна. Опасявах се, че моята идея не е достатъчно достоверна.

[Гост]

Т.е. точката Q е външна

[S.B.]

Здравейте, математици!
Може ли точката Q да лежи на продължението на АС, макар да не е упоменато в условието, че точката е външна? Как мислите?

Без заглавие - 2026-03-18T184320.100.png (221.17 KiB) Прегледано 195 пъти

Ако допуснем,че т.$Q$ лежи на продължението на $AC$ тогава понеже по условие [tex]BQ \bot AC[/tex] и [tex]\angle QCB = 122 ^\circ[/tex] то [tex]\triangle CBQ[/tex] не може да съществува, тъй като сборът от вътрешните му ъгли ще бъде по-голям от [tex]180 ^\circ \Rightarrow Q[/tex] е вътрешна за $AC$ точка.
Построявам [tex]S_{AB }[/tex]
[tex]S_{AB } \cap AC = Q[/tex]
[tex]Q \in S_{AB } \Rightarrow AQ = QB[/tex]
[tex]QB \bot AC \Rightarrow \triangle ABQ[/tex] е равнобедрен,правоъгълен [tex]\Rightarrow \angle A = 45 ^\circ[/tex]
Външният ъгъл на [tex]\angle C[/tex] е равен на [tex]122^\circ[/tex] и е равен на сбора от двата несъседни на него ъгъла:
[tex]\Rightarrow \angle A + \angle B = 122 ^\circ \Leftrightarrow 45 ^\circ + \angle B = 122 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle B = 77 ^\circ $$

[liam]

Здравейте, математици!
Може ли точката Q да лежи на продължението на АС, макар да не е упоменато в условието, че точката е външна? Как мислите?

Без заглавие - 2026-03-18T184320.100.png

Ако допуснем,че т.$Q$ лежи на продължението на $AC$ тогава понеже по условие [tex]BQ \bot AC[/tex] и [tex]\angle QCB = 122 ^\circ[/tex] то [tex]\triangle CBQ[/tex] не може да съществува, тъй като сборът от вътрешните му ъгли ще бъде по-голям от [tex]180 ^\circ \Rightarrow Q[/tex] е вътрешна за $AC$ точка.
Построявам [tex]S_{AB }[/tex]
[tex]S_{AB } \cap AC = Q[/tex]
[tex]Q \in S_{AB } \Rightarrow AQ = QB[/tex]
[tex]QB \bot AC \Rightarrow \triangle ABQ[/tex] е равнобедрен,правоъгълен [tex]\Rightarrow \angle A = 45 ^\circ[/tex]
Външният ъгъл на [tex]\angle C[/tex] е равен на [tex]122^\circ[/tex] и е равен на сбора от двата несъседни на него ъгъла:
[tex]\Rightarrow \angle A + \angle B = 122 ^\circ \Leftrightarrow 45 ^\circ + \angle B = 122 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle B = 77 ^\circ $$

Здравейте, колега, при положение, че колегата е онагледил, че съществува тази възможност, как така го отхвърлихте?

[ammornil]

Може би колежката има предвид, че условието на задачата иска точката $Q$ да лежи на страната $AC$, а не на продължението ѝ. По дадените отговори, допускането ѝ е вярно. В случая, който аз описах, ъгълът се получава $16^{\circ}$, което не е сред дадените.

Ако допуснем,че т.$Q$ лежи на продължението на $AC$ тогава понеже по условие [tex]BQ \bot AC[/tex] и [tex]\angle QCB = 122 ^\circ[/tex] то [tex]\triangle CBQ[/tex] не може да съществува, тъй като сборът от вътрешните му ъгли ще бъде по-голям от [tex]180 ^\circ \Rightarrow Q[/tex] е вътрешна за $AC$ точка.

@S.B.: $\triangle{QCB}$ винаги съществува, защото точките $C$, $Q$ и $B$ никога не лежат на една права. Ъгълът $122^{\circ}$ е външен, не вътрешен за $\triangle{ABC}$, тоест $Q$ трябва да лежи гледано от $C$ по посока на $A$, а не в обратната посока. И на моя, и на Вашия чертеж $\angle{QCB}$ е остър, тоест не е $122^{\circ}$, просто Вие сте избрали външната $Q$ да е от грешната страна на правата спрямо триъгълника, като сте направили транслация на $B$ някъде извън оригиналния триъгълник. Напълно е възможно точката $Q$ да е външна за $\triangle{ABC}$, ако изрично не е казано, че $Q$ лежи между точките $A$ и $C$.

[S.B.]

Може би колежката има предвид, че условието на задачата иска точката $Q$ да лежи на страната $AC$, а не на продължението ѝ. По дадените отговори, допускането ѝ е вярно. В случая, който аз описах, ъгълът се получава $16^{\circ}$, което не е сред дадените.

Ако допуснем,че т.$Q$ лежи на продължението на $AC$ тогава понеже по условие [tex]BQ \bot AC[/tex] и [tex]\angle QCB = 122 ^\circ[/tex] то [tex]\triangle CBQ[/tex] не може да съществува, тъй като сборът от вътрешните му ъгли ще бъде по-голям от [tex]180 ^\circ \Rightarrow Q[/tex] е вътрешна за $AC$ точка.

@S.B.: $\triangle{QCB}$ винаги съществува, защото точките $C$, $Q$ и $B$ никога не лежат на една права. Ъгълът $122^{\circ}$ е външен, не вътрешен за $\triangle{ABC}$, тоест $Q$ трябва да лежи гледано от $C$ по посока на $A$, а не в обратната посока. И на моя, и на Вашия чертеж $\angle{QCB}$ е остър, тоест не е $122^{\circ}$, просто Вие сте избрали външната $Q$ да е от грешната страна на правата спрямо триъгълника, като сте направили транслация на $B$ някъде извън оригиналния триъгълник. Напълно е възможно точката $Q$ да е външна за $\triangle{ABC}$, ако изрично не е казано, че $Q$ лежи между точките $A$ и $C$.

Без заглавие - 2026-03-18T234829.703.png (196.14 KiB) Прегледано 176 пъти

Симетралата [tex]S_{AB } \cap[/tex] продължението на $AC$ в червената точка $Q$, но по условие трябва [tex]BQ \bot AC[/tex] Това условие не е изпълнено.Вижда се,че има 2 различни точки $Q$.Едната (червената ) е пресечната точка на симетралата с продължението на $AC$, а другата (зелената) е точката в която $BQ$ сключва прав ъгъл със страната $AC$.Ето защо отговор [tex]16 ^\circ[/tex] не е отбелязан между отговорите.
Условието ясно гласи,че [tex]S_{AB } \cap AC = Q, BQ \bot AC[/tex]

[ammornil]

Благодаря! Това съм го проспал. Аз съм направил друга задача, където $BQ\bot{BC}$.

[S.B.]

Здравейте, колега, при положение, че колегата е онагледил, че съществува тази възможност, как така го отхвърлихте?

Здравейте!Ако си направите труда да прочетете условието на задачата ще разберете и Вие така както разбра и уважаваният от мен колега ,че една много съществена част условието сте проспали!