симетрала в триъгълник

[Гост]

може ли решение на задача 24

mat7.jpg (179.85 KiB) Прегледано 628 пъти

[ammornil]

Screenshot 2026-03-25 152820.png (423.33 KiB) Прегледано 613 пъти

$\\[12pt]$

Screenshot 2026-03-25 155812.png (85.68 KiB) Прегледано 613 пъти

$\\[12pt]$Виждате ли решенията на трите подточки от чертежа?

Скрит текст: покажи

Подсказки: (А) $\triangle{MNO}$ е равнобедрен с ъгъл между бедрата $60^{\circ}$, което го прави равностранен $\\[6pt]$ (Б) точката $O$ лежи на симетралата на $AC$, значи е равноотдалечена от $A$ и $C$, но от предното условия тя е и равноотдалечена от $A$ и $B$, следователно е пресечна точка на симетралите (център на описана окръжност за $\triangle{ABC}$) $\\[6pt]$ (В) $\angle{MAO}= \angle{MOA}= \angle{BNO}= \angle{OBN}= \dfrac{180^{\circ}- 120^{\circ}}{2} \Rightarrow \angle{AOC}= 90^{\circ}$

[S.B.]

Прикачения файл mat7.jpg вече е недостъпен

Без заглавие - 2026-03-25T172005.813.png (268.75 KiB) Прегледано 613 пъти

Дадено: [tex]\triangle ABC[/tex] - остроъгълен; точките [tex]M \in AB, N \in AB, AM = MN = NB , \angle ANC = 60 ^\circ[/tex]
[tex]S_{AC } \cap CN = O,ON = NB[/tex]
Да се докаже:
1)[tex]\triangle AMO \cong \triangle BNO[/tex]
2) [tex]O \in S_{BC }[/tex]
3) Намерете ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex]
Решение:
1)

По условие[tex]\begin{cases} ON = NB \\ NB = MN \end{cases} \Rightarrow ON = NM[/tex]
[tex]\begin{cases} ON = NM \\ \angle ONM = 60 ^\circ \end{cases} \Rightarrow \triangle OMN[/tex] е равностранен и [tex]\angle OMN = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle AMO \cong \triangle BNO[/tex] ( първи признак):
[tex]AM = NB , OM= ON , \angle OMA = \angle ONB = 120 ^\circ[/tex] (съседен на [tex]\angle = 60 ^\circ[/tex])
$$\Rightarrow AO = BO$$
2)
[tex]O \in S_{AC } \Rightarrow AO = CO[/tex]
[tex]\begin{cases} AO = BO\\ AO = CO \end{cases} \Rightarrow BO = CO[/tex]
$$\Rightarrow O \in S_{BC } $$

3)
[tex]\angle MNO = 60 ^\circ[/tex],външен за [tex]\triangle NBO, NB = NO , \Rightarrow \angle NBO = \angle NOB = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\angle NOB[/tex] е външен за равнобедрения [tex]\triangle BOC \Rightarrow \angle OBC = \angle OCB = 15 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]За [tex]\triangle ABC , \angle B = 30 ^\circ + 15 ^\circ = 45 ^\circ[/tex]
[tex]O \in S_{AC } \Rightarrow AO = OC \Rightarrow \angle CAO = \angle ACO = \varphi[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle A = 30 ^\circ + \varphi , \angle C = 15 ^\circ + \varphi[/tex] (ЗАЩО?)
За [tex]\triangle ABC \rightarrow \angle A + \angle B + \angle C = 180 ^\circ \Leftrightarrow 30 ^\circ + \varphi + 45 ^\circ + 15 ^\circ + \varphi = 180 ^\circ \Leftrightarrow 2 \varphi = 90 ^\circ \Rightarrow \varphi = 45 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \angle A = 75 ^\circ , \angle B = 45 ^\circ , \angle C = 60 ^\circ $$