Няколко задачи

[lam3r4370]

Намерете цифрата на единиците на числото a=11^{6} +14^{6}+16{6}

Ако [tex]x_{1}[/tex]= 2n-1 и [tex]x_{2}[/tex] = 2n+1 ,n[tex]\ge[/tex] 1 ,са две последователни нечетни числа ,намерете най-голямото естетвено число ,което дели
([tex]x_{1}+x_{2}[/tex])^2 за всяко n[tex]\ge[/tex]1

Изчислете [tex]\frac{4-\frac{1}{2 } a^{3} }{4+2a+a^{2} }[/tex]

Докажете ,че изразът 3^333-3^223+3^112-1 е точен куб на естествено число.

(2010^4-2009^4-2009^3){2010^2+2009*2010+2009^2}

Не мога да разбера как се решават.

[ptj]

[tex]11^6+14^6+16^6\equiv 1^6+4^6+6^6 \equiv 1+16^3+6{10}\equiv 1+6+6\equiv 3 \pmod {10}[/tex]


[tex](2n+1 +2n-1)^2=(4n)^2=16n^2[/tex] (най-големия делител е самото число, следващия по големина е [tex]8n^2[/tex]).

[tex](3^{111}-1)^3=\big(3^{111}\big)^3+3.\big(3^{111}\big)^2.(-1)+3.3^{111}.(-1)^2+(-1)^3[/tex]

[lam3r4370]

За тази:
11^{6} +14^{6}+16{6}
май нещо се сетих.
Ще вземем само единиците на цислата:
1^6+4^6+6^6 и цифрата на единиците им е 3.
На втора: получава се [tex](4n)^{2}[/tex] ,т.е [tex]16n^{2}[/tex] ,значи най-голямото естествено число ,което го дели е 16?
За тази:
Изчислете [tex]\frac{4-\frac{1}{2 } a^{3} }{4+2a+a^{2} }[/tex]
4+2a+a^2 = (2+a)^2
ама горното каква формула е?

[ptj]

[tex]\frac{4-\frac{1}{2 } a^{3} }{4+2a+a^{2} }=\frac{2^3-a^3}{2(2^2+2a+a^2) }=\frac{(2-a)(2^2+2a+a^2) }{2(2^2+2a+a^2) }=\frac{2-a}{2 }[/tex]

[lam3r4370]

[tex]\frac{4-\frac{1}{2 } a^{3} }{4+2a+a^{2} }=\frac{2^3-a^3}{2(2^2+2a+a^2) }=\frac{(2-a)(2^2+2a+a^2) }{2(2^2+2a+a^2) }=\frac{2-a}{2 }[/tex]

Нещо не я разбрах ,откъде идва 2^3 и това две пред скоби ?

[ptj]

4-ката я представям като дроб [tex]\frac{8}{2 }[/tex].След това 2-ката слиза в знаменателя.

[lam3r4370]

Разложете на множители многочлена: [tex]6x^{2}-5x-1[/tex]
Тук ще стане с точен квадрат ,ама 6-цата не е на втора степен...

Намерете стойността на израза [tex]\frac{2010^{4}-2009^{4}-2009^{3}}{2010^{2}+2009*2010+2009^{2} }[/tex]
Тук ще се съкращават ,но не знам как ще се представи 2009*2010

Докажете ,че за всяко естествено число [tex]n,n >2, n^{5}-5n^{3}+4n[/tex] се дели на 120
Тук си нямам на идея как ще стане...

Разложете на множители израза:
[tex]3x^{6}-4x^{3}-7[/tex]
Тук също не знам как ще стане...

Не искам напълно да ми решите задачите ,просто ми дайте някакви насоки ,моля Ви!

[Kamito]

[tex]6x^2-5x-1=6x^2-6x+x-1=6x(x-1)+(x-1)=(x-1)(6x+1)[/tex]

[Kamito]

[tex]3x^6-4x^3-7=3x^6-7x^3+3x^3-7=3x^3(x^3+1)-7(x^3+1)=[/tex]
[tex](x^3+1)(3x^3-7)=(x+1)(x^2-x+1)(3x^3-7)[/tex]

[lam3r4370]

Нали при тези задачи произведението от коефицентите на второто и третото число трябва да дават четвъртото число?

[Kamito]

[tex]\frac{2010^4-2009^4-2009^3}{2010^2+2009.2010+2009^2 }=\frac{2010^4-2009^3(2009+1)}{2010^2+2009.2010+2009^2}=[/tex]

[tex]=\frac{2010^4-2009^3.2010}{2010^2+2009.2010+2009^2 } =\frac{2010(2010^3-2009^3)}{2010^2+2009.2010+2009^2 }[/tex]

[tex]=\frac{2010(2010-2009)(2010^2+2009.2010.2009^2)}{(2010^2+2009.2010+2009^2)}=[/tex]

[tex]=2010.1=2010[/tex]

[lam3r4370]

Благодаря ти изключително много ,Ками!
Остана само:
Докажете ,че за всяко естествено число [tex]n,n >2, n^{5}-5n^{3}+4n[/tex] се дели на 120

[Kamito]

[tex]n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^4-4n^2-n^2+4)=n(n^2(n^2-1)-4(n^2-1))=[/tex]

[tex]=n(n^2-1)(n^2-4)=[/tex]

[tex]=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)[/tex]

това са 5 последователни числа и ако [tex]n=3 => (3-2)(3-1)3(3+1)(3+2)= 1.2.3.4.5 =120[/tex] => изразът се дели на 120.
По принцип не съм решавала такъв тип задачи, така че не знам дали точно така трябва да се напише решението...

[allier]

Това, че при 3 се дели на 120, не значи, че винаги се дели на 120. Трябва да се докаже за всяко n.
120 = 8.3.5; т.е. трябва да се докаже, че произведението на 5 последователни числа винаги се дели на 8, на 3 и на 5.

[Kamito]

Ясно! Но как да докажа, че произведението на 5 последователни числа се дели на 3,8 и 5?..

[amsara]

Сред 5 последователни числа със сигурност има такова, което се дели на 3 и такова на 5.Има поне две ,които се делят на 2 и поне едно, което се дели на 4.Тогава многочленът със сигурност се дели на следните числа - 1,2,3,4,5,8.А щом се дели едновременно на 3,5 и 8 се дели и на 120, тъй като 3.5.8=120

[lam3r4370]

Благодаря Ви изключително много @ptj,@Kamito и @amsara