От две гари тръгват едновременно един срещу друг два влака..

[Koceto0]

От две гари тръгват едновременно един срещу друг два влака. Да се намери след колко часа те ще се срещнат, ако е известно,че единият влак може да да измине разстоянието между двете гари за 2 часа и 20 минути, а другият за 3 часа и 30 минути.


Ако можете обяснете и самото решение, защото искам да вникна в смисъла й.Благодаря предварително.

[ganka simeonova]

Нека означим целият път с 1. Да превърнем времето на всеки от тях в часове. Тогава
[tex]t_1=\frac{7}{ 3} ; t_2=\frac{7}{ 2}[/tex].
Да означим времето от момента на тръгване до срещата с [tex]t[/tex].
Тогава всеки ще е изминал път съответно:

[tex]S_1=\frac{3}{ 7} t; S_2=\frac{2}{ 7} t[/tex]

[tex]S_1+S_2=1=>\frac{3}{ 7} t+\frac{2}{ 7} t=1=>\frac{5}{ 7} t=1=>t=\frac{7}{ 5} =1h24min[/tex]

[Koceto0]

Само да питам,защо ги обращаш от [tex]\frac{7}{3}[/tex] в [tex]\frac{3}{7}[/tex]

[ganka simeonova]

Защото скоростите са съответно:
[tex]V_1=\frac{S}{t_1 } =\frac{1}{ \frac{7}{ 3} } =\frac{3}{7 } ; V_2=\frac{2}{ 7}[/tex]

[Koceto0]

Вярно.Благодаря ви много.

[ganka simeonova]

Целия път можеш да означиш и с х, но тогава ще получиш равенството:
[tex]\frac{3x}{ 7} t+\frac{2x}{7 } t=x[/tex] и като разделиш двете страни на х, ще получиш и предното равенство.
Но съм останала с впечатление, че повечето 7-класници като видят две неизвестни и се загубват
Затова е по- добре пътят да се означи с 1

[Гост]

От два града, разстоянието между които е 84 км, тръгнали един срещу друг едновременно велосипедист и моторист. Намерете на какво разстояние от мястото на тръгване на велосипедиста те ще се срещнат, ако за изминаването на 2 км велосипедистът изразходва толкова време, колкото е нужно на моториста да пропътува 5 км.


Ако можете обяснете и самото решение, защото искам да вникна в смисъла й.Благодаря предварително.

[S.B.]

От два града, разстоянието между които е 84 км, тръгнали един срещу друг едновременно велосипедист и моторист. Намерете на какво разстояние от мястото на тръгване на велосипедиста те ще се срещнат, ако за изминаването на 2 км велосипедистът изразходва толкова време, колкото е нужно на моториста да пропътува 5 км.


Ако можете обяснете и самото решение, защото искам да вникна в смисъла й.Благодаря предварително.

Без заглавие - 2024-12-15T212508.239.png (245.24 KiB) Прегледано 986 пъти

Скоростите на двамата участници в задачата са зададени неявно.
Нека скоростта на велосипедиста е [tex]V_{в }[/tex], а скоростта на моториста е [tex]V_{м }[/tex]
Тъй като времето за което велосипедиста изминава 2 км е същото за което мотористът изминава 5 км ,то за скоростите им имаме:
[tex]\frac{ V_{в } }{ V_{м } } = \frac{2}{5} \Rightarrow V_{в } = \frac{2}{5} V_{м }[/tex]
Те тръгват едновременно един срещу друг,следователно до срещата ще пътуват едно и също време $x$
Нека пътят на велосипедиста е [tex]S_{в }[/tex], а пътят на моториста е [tex]S_{м }[/tex]
[tex]S_{в } + S_{м } = 84 \Leftrightarrow \frac{2}{5} V_{м }.x + V_{м }.x = 84 \Leftrightarrow V_{м }.x ( \frac{2}{5}+ 1) = 84 \Rightarrow V_{м }.x = \frac{84.5}{7}[/tex]

Получихме за пътя на моториста [tex]V_{м }.x = 60 км \Rightarrow x = \frac{60}{5} = 12[/tex] отсечки (Пътят на моториста образно казано се дели на отсечки всяка от които е = 5 км)
За същото време велосипедистът е изминал $12$ отсечки .$2 км =24$ км - т.е. те са се срещнали на $24$км от мястото от което е тръгнал велосипедиста.

[ammornil]

Скоростта е път изминат за единица време$.\\[6pt]$Ако за време $t[h]$ велосипедистът изминава $2[km]\quad{} \Rightarrow \quad{} v_{в}=\dfrac{2}{t}[km/h].\\[6pt]$ За същото време $t[h]$ мотористът изминава $5[km] \quad{} \Rightarrow \quad{} v_{м}=\dfrac{5}{t}[km/h].\\[6pt] \dfrac{v_{м}}{v_{в}}=\dfrac{\quad{}\dfrac{5}{t}\quad{}}{\dfrac{2}{t}}=\dfrac{5}{2}\\[6pt]$ Понеже тръгват едновременно и не спират никъде по пътя, двамата се движат до мястото на срещата за еднакво време $x[h].\\[6pt]$ Отношението на изминатия от моториста до мястото на срещата път към изминатия от велосипедиста до мястото на срещата път е:$\\[6pt] \dfrac{s_{м}}{s_{в}}=\dfrac{v_{м}\cdot{x}}{v_{в}\cdot{x}}=\dfrac{v_{м}}{v_{в}}=\dfrac{5}{2} \Rightarrow s_{м}=\dfrac{5\cdot{s_{в}}}{2}\\[6pt] s_{в}+s_{м}=s \Leftrightarrow \underbrace{\dfrac{5\cdot{s_{в}}}{2}+s_{в}=84}_{2} \Leftrightarrow 5s_{в}+2s_{в}=2\cdot{}84 \\[6pt] 7s_{в}=168$ $$s_{в}=24[km] $$

[ammornil]

[tex]\cdots{}[/tex]
Те тръгват едновременно един срещу друг,следователно до срещата ще пътуват едно и също време $x$
[tex]\cdots{}[/tex]
Получихме за пътя на моториста [tex]V_{м }.x = 60 км \Rightarrow x = \frac{60}{5} = 12[/tex] отсечки (Пътят на моториста образно казано се дели на отсечки всяка от които е = 5 км)
[tex]\cdots{}[/tex]

Не знам как да тълкувам записаното. От последния запис по-горе излиза, че скоростта на моториста е $5[km/отсечка]\\[12pt]$ Може ли да поясните как времето [tex]x[/tex] стана измерено в отсечки?

[S.B.]

... за изминаването на 2 км велосипедистът изразходва толкова време, колкото е нужно на моториста да пропътува 5 км.

По - добре разтълкувайте условието,където никъде не е казано това време дали е часове,минути,дни ,денонощия!
Просто е казано,че за НЯКАКВО ВРЕМЕ за което велосипедистът изминава 2 км,мотористът изминава 5 км.Явно времето се измерва с това колко по 2 км е изминал велосипедиста и колко по 5 км е изминал моториста.

[ammornil]

... за изминаването на 2 км велосипедистът изразходва толкова време, колкото е нужно на моториста да пропътува 5 км.

По - добре разтълкувайте условието,където никъде не е казано това време дали е часове,минути,дни ,денонощия!
Просто е казано,че за НЯКАКВО ВРЕМЕ за което велосипедистът изминава 2 км,мотористът изминава 5 км.Явно времето се измерва с това колко по 2 км е изминал велосипедиста и колко по 5 км е изминал моториста.

Мерната единица за време няма нужда да е поименно посочена в условието, защото всички мерни единици за време са равнопоставени, стига да се прилагат последователно и еднакво навсякъде. Може би аз не съм достатъчно отворен за креативността Ви, но аз смятам, че "отсечка" предполага разстояние а не време, откъдето "километри за отсечка" за мен е безразмерна величина или мярка за разстояние, но не скорост.

[S.B.]

Мерната единица за време няма нужда да е поименно посочена в условието, защото всички мерни единици за време са равнопоставени, стига да се прилагат последователно и еднакво навсякъде. Може би аз не съм достатъчно отворен за креативността Ви, но аз смятам, че "отсечка" предполага разстояние а не време, откъдето "километри за отсечка" за мен е безразмерна величина или мярка за разстояние, но не скорост.

Е добре !Ще Ви го обясня по друг начин.
В задачата въобще не става дума за време, а само за отсечки,които в случая са отсечки от пътя.Задачата е от материала за пропорционални отсечки ,който се изучава в 6 клас.
Вярвам,че ще се съгласите ,че в идеалния вариант пътя на велосипедиста и пътя на мотоциклетиста са всъщност отсечки от инфраструктурата по която се движат.(Не е казано друго нещо,освен,че се движат един срещу друг и че тръгват по едно и също време)

[tex]\frac{ S_{вел } }{ S_{ мот} } = \frac{2}{5} \Rightarrow S_{вел } = 2x , S_{мот } = 5x[/tex]

[tex]S_{вел } + S_{мот } = 84 \Leftrightarrow 2x + 5x = 84 \Leftrightarrow 7x = 84 \Rightarrow x= 12[/tex]

Тогава $2x = 2.12 = 24 , 5x = 5.12 = 60$

Или отсечката от пътя,която е изминал велосипедиста е 24 км , а отсечката от пътя,която е изминал моториста е 60 км.
$$\Rightarrow S_{вел } = 24 km, S_{мот } = 60 km$$

[ammornil]

Мерната единица за време няма нужда да е поименно посочена в условието, защото всички мерни единици за време са равнопоставени, стига да се прилагат последователно и еднакво навсякъде. Може би аз не съм достатъчно отворен за креативността Ви, но аз смятам, че "отсечка" предполага разстояние а не време, откъдето "километри за отсечка" за мен е безразмерна величина или мярка за разстояние, но не скорост.

Е добре !Ще Ви го обясня по друг начин.
В задачата въобще не става дума за време, а само за отсечки,които в случая са отсечки от пътя.Задачата е от материала за пропорционални отсечки ,който се изучава в 6 клас.
Вярвам,че ще се съгласите ,че в идеалния вариант пътя на велосипедиста и пътя на мотоциклетиста са всъщност отсечки от инфраструктурата по която се движат.(Не е казано друго нещо,освен,че се движат един срещу друг и че тръгват по едно и също време)

[tex]\frac{ S_{вел } }{ S_{ мот} } = \frac{2}{5} \Rightarrow S_{вел } = 2x , S_{мот } = 5x[/tex]

[tex]S_{вел } + S_{мот } = 84 \Leftrightarrow 2x + 5x = 84 \Leftrightarrow 7x = 84 \Rightarrow x= 12[/tex]

Тогава $2x = 2.12 = 24 , 5x = 5.12 = 60$

Или отсечката от пътя,която е изминал велосипедиста е 24 км , а отсечката от пътя,която е изминал моториста е 60 км.
$$\Rightarrow S_{вел } = 24 km, S_{мот } = 60 km$$

Това е различно от първоначалното Ви решение (в същност е същото като моето, но зписано по-кратко).
Нямам несъгласие с подхода, който имате в първоначално предложеното решение, а само със записа който използвате в края, защото нарушара димензиланото равенство на закона за пътя при равномерно праволинейно движение.