Две сравнително трудни задачи

[Супер.Математика]

Да се докаже, че изразът
(а+1)(b+1)(3a+5)(5b+7)
може да се представи като разлика от квадратите на два многочлена с цели коефициенти.




Да се докаже, че ако А+В+С=0, то

(А на пета степен + В на пета степен + С на пета степен) делено на 5 = [(А на трета степен + В на трета степен + С на трета степен) делено на 3]умножено по (А на втора степен + В на втора степен + С на втора степен)делено на 2

Или по-разбираемо (А на пета + В на пета + С на пета) : 5 = [(А на трета + В на трета + С на трета) : 3] . (А на втора + В на втора + С на втора):2

[ganka simeonova]

Предполагаме, че а и b са цели?

[allier]

Ето за първата:

[tex](a+1)(b+1)(3a+5)(5b+7)=\frac{(3a+3)(5b+5)(3a+5)(5b+7)}{3.5 }=[/tex]
[tex]=\frac{((3a+4)-1)((3a+4)+1)((5b+6)-1)((5b+6)+1)}{15}=\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{15}=[/tex]
[tex]\frac{(xy)^2-y^2-x^2+1}{15}=\frac{(xy-1)^2-(y-x)^2}{15}[/tex] и сега 15 трябва да се махне някакси

[Супер.Математика]

Не е сигурно дали са цели

[allier]

За втората:

[tex]0=(a+b+c)(a^4+b^4+c^4)=a^5+b^5+c^5+ab^4+ba^4+ac^4+ca^4+bc^4+cb^4[/tex]

Остава само да се преобразува: [tex]ab^4+ba^4=ab(a^3+b^3)=ab(a+b)(a^2-ab+b^2)=-abc(a^2-ab+b^2)[/tex].
Оттук като се замести горе: [tex]0=S_{5}-abc(2a^2+2b^2+2c^2-ab-bc-ac)[/tex], т.е. [tex]S_{5}=abc(2(a+b+c)^2-5(ab+bc+ac))=-5abc(ab+bc+ac)[/tex].

По аналогични схеми [tex]S_{3}=a^3+b^3+c^3=3abc[/tex] и [tex]S_{2}=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=-2(ab+bc+ac)[/tex], откъдето [tex]\frac{S_{5}}{5 }=\frac{S_{3}}{3}.\frac{S_{2}}{2}[/tex].

[ganka simeonova]

за 2) Като за начaло докажи, че:
[tex]a^3+b^3+c^3=3abc[/tex]
После образувай:[tex]a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=-2[ab+c(a+b)]=-2(ab-c^2)[/tex]
Накрая образувай произведението [tex](a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3)=...[/tex]

[Супер.Математика]

Не сме взели корен квадратен, но мисля, че за да махнем 15 става така
[1/корен квадратен от 15 * (xy-1)] на квадрат минус [1/корен квадратен от15(y-x)] на квадрат е не съм сигурен де