Равнобедрен триъгълник.Равностранен триъгълник

[sunday_special]

1зад. Даден е равностранният▲ABC и точка M, лежаща вън от▲. Намерете ъглите на ▲AMB, ако CM=AB и ъгъл ACM=50°
2зад. През върха C на равностранния ▲ABC е прекарана права m, успоредна на ъглополовящата на ъгъл BAC. Правата m пресича продължението на АВ в точка D. Ако CD=a и P▲ABC=2p, намерете периметъра на ▲ACD.
3зад. В равнобедрения ▲ABC(AC=BC) ъглополовящата AL=AB. Намерете ъглите на ▲ABC.
4зад. Височините CH и BK в остроъгълния ▲ABC се пресичат в точка О.
а)Ако BK=CK, да се докаже, че OC=AB
б)Ако OC=AB, да се докаже, че правата OA\bot BC.
Благодаря:)

[kiril199]

Относно първата:
По условие [tex]AB=BC=AC=MC[/tex] [tex]\angle ACB=\angle BAC=\angle ABC=60^\circ[/tex]
[tex]\angle MCB=\angle MCA+\angle ACB[/tex]
[tex]\angle MCB=50^\circ +60^\circ =110^\circ[/tex]
[tex]MC=CB[/tex] => ▲MCB е равнобедрен => [tex]\angle CMB=\angle MBC=35^\circ[/tex]
[tex]\angle MAB=\angle MAC+\angle CAB=125^\circ[/tex]
[tex]\angle ABC=60^\circ[/tex]
[tex]\angle ABM=\angle ABC-\angle MBC=60^\circ -35^\circ =25^\circ[/tex]=> [tex]\angle AMB=30^\circ[/tex]

С чертеж става по-ясно.

[kiril199]

По третата:
Ъгълът образуван от ъглополовящата бележим с [tex]\alpha[/tex]=> [tex]\angle ABC=2\alpha[/tex]
[tex]AL=AB[/tex]=> [tex]\angle ALB=2\alpha[/tex]

Ъглите в [tex]\Delta ALB=5\alpha =180^\circ[/tex]=> [tex]\alpha =36^\circ[/tex]

[tex]\angle CAB=\angle ABC=72^\circ[/tex]=> [tex]\angle ACB=36^\circ[/tex]

И отново с чертеж става много по-ясно.