Трапец

[mama]

Даден е трапец ABCD. Диагоналите се пресичат в т.О. Ако е известно, че лицето на АВО е 32 кв.см. и СDO е 4 кв.см, колко е лицето на трапеца.

[martin123456]

S(ABO)=am/2, където m е височината от O към голямата основа
S(CDO)=an/2, където n е височината от O към малката основа
S(AOD)=S(ABD)-S(AOB)=a(m+n)/2-32
S(COB)=S(ACB)-S(AOB)=a(m+n)/2-32
по усл S(ABO)+S(CDO)=a(m+n)/2=36
значи лицето на трапеца е 4+4+32+4

[dim]

S(ABO)=am/2, където m е височината от O към голямата основа
S(CDO)=an/2, където n е височината от O към малката основа
S(AOD)=S(ABD)-S(AOB)=a(m+n)/2-32
S(COB)=S(ACB)-S(AOB)=a(m+n)/2-32
по усл S(ABO)+S(CDO)=a(m+n)/2=36
значи лицето на трапеца е 4+4+32+4

На петият си ред май грешиш: [tex]S_{ABO}+S_{CDO}=\frac{ma+nb}{2}\ne \frac{a(m+n)}{2}[/tex], оттам и лицето на ABCD не е такова.

Може да се използва едно доста известно твърдение, че ако имаме четириъгълник ABCD и диагоналите се пресичат в т.O, то [tex]S_{AOB}.S_{COD}=S_{AOD}.S_{BOC}[/tex](*) . Доказва се много лесно, трябва само чертеж - ще го пратя ако искате. Сега понеже [tex]S_{AOD}=S_{BOC}[/tex] и от (*)=>[tex]S_{AOB}.S_{DOC}=S_{AOD}^{2}[/tex], [tex]S_{AOD}^{2}=32.4=128[/tex], [tex]S_{AOD}=8\sqrt{2}[/tex]=> [tex]S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{COD}+2.S_{AOD}=36+16\sqrt{2}[/tex].

[martin123456]

да,прав си

[mama]

Благодаря за отговорите. Но в случая става въпрос за нормалните знания, които трябва да приложи един седмокласник. Там е проблема. Това е задача от пробна матура за 7 клас и й се дават 2 точки. Решението трябва да е нещо по-просто

[dim]

То е просто. Ето чертеж. Много лесно се установява зависиимостта с лицата, а задачата следва директно от това. Даже ако се разгледа конкретно случаят когато ABCD е трапец става още по-лесно. Аз съм разгледал общият случай.

[tex]S_{AOB}.S_{DOC}=S_{AOD}.S_{BOC}[/tex] <=> [tex]\frac{(h_m.n)(h_n.m)}{4}=\frac{(h_m.m)(h_n.n)}{4}[/tex]. Което е очевидно тъждесто и готово - твърдението е доказано. Не мисля, че има по-прост и директен начин.

[ganka simeonova]

Решението на дим е вярно, но явно условието е сбъркано, защото в 7 клас не се учи коренуване. По всяка вероятност лицето на големия е 36 кв.см.