геометрични задачи

[on...]

Дадени са два равнобедрени триъгълника ABC и ABD с обща основа AB. Докажете, че правите AB и CD са перпендикулярни.

Триъгълниците ABC и ABD са еднакви, като C и D са в различни полуравнини относно AB. Докажете, че AB е симетралата на отсечката CD.

На фиг. симетралата на страната AC пресича правата AB в точка P. Ако ъгъл ABC=110° и ъгъл BCP=10°, то мярката на ъгъл ACB e равна на:
a) 30° б) 40° в) 50° г) 60°

[martin123456]

1
имаме 2 чертежа -
1.1) D е външна за ABC
1.2) D е вътрешна за ABC
ще док за 1.1). другото е аналогично
Нека AB спуснем перпендикуляр CH от A към AB. AC=CB=> CH е и медиана в ABC от C. Аналогично, нека спуснем DK перпендикуляр от D към АB. по горната логика, DK е и медиана. значи H и K са среди на AB, значи съвпадат, нека означим новата точка с O. значи COD е права, която е перпендикулярна на AB и която всъщност е на CD правата. значи AB е перпендик на CD

[martosss]

За първата задача си спусни височини от С и от Д към АВ. Понеже триъгълниците са равнобедрени, то тези височини са и медиани. Тогава те минават през средата на АВ. Щом и двете минават през средата на АВ и са перпендикулярни на АВ, то двете височини съвпадат, тоест точките С, Д и средата на АВ лежат на една права, която е перпендикулярна на АВ(тоест симетралата на АВ), откъдето [tex]AB\bot CD[/tex]

За втора задача щом двата триъгълника са еднакви, то AC=AD, BC=BD, откъдето А и В са точки от симетралата на СД, откъдето АВ е симетралата на СД.

За третата задача ъгъл СВР=80, откъдето ъгъл ВРС е 100. Щом МР е симетрала на АС, то триъгълник АРС е равнобедрен, откъдето ъгъл АСР=ъгъл РАС=40, откъдето търсеният ъгъл е 30 градуса.

[martin123456]

2
пак имаме 2 чертежда. във 2ри имаме успоредник, но явно условието на задачата не е изпълнено (това дето трябва да се докаже). работим по първи чертеж
от еднаквостта следва AC=AD, CB=DB. сега използвай задача 1, откъдето следва че AB е перпендикулярно на CD. там също доказахме че пресечната точка на AB,CD е среда на CD. оттук следва твърдението

[martosss]

2
пак имаме 2 чертежда. във 2ри имаме успоредник, но явно условието на задачата не е изпълнено (това дето трябва да се докаже). работим по първи чертеж
от еднаквостта следва AC=AD, CB=DB. сега използвай задача 1, откъдето следва че AB е перпендикулярно на CD. там също доказахме че пресечната точка на AB,CD е среда на CD. оттук следва твърдението

Нямаме два случая, защото във втория ти случай твърдението "триъгълниците АВД и АВС са еднакви" не е вярно - еднакви са АВД и ВАС - има разлика

В тези случай е добре да се търси инвариантата, а не да се разглеждат няколко случая - каквото и да става, винаги тези отсечки са равни и търсеното е изпълнено. Така си опростяваме работата - с едно разсъждение решаваме няколко случая едновременно.

[on...]

Благодаря много.