Еквивалентни твърдения

[lam3r4370]

Докажете ,че един триъгълник е равнобедрен тогава и само тогава ,когато медианата и ъглополовящата му през един от върхувете му съвпадат.
Първият случай ме затруднява.
Ако триъгълник ABC е равнобедрен ,то тогава Mc≡Lc
Начертаваме чертежа и си начертаваме ъглополовяща(може и медиана).
Доказваме ,че триъгълниците са еднакви и оттам ,че Mc≡Lc ,така ли?

[amsara]

Ето доказателството и в другата посока.
Нека триъгълникът е АВС и CL е едноврменно ъглополовяща на С и медиана към АВ.
=>AL=BL=x
Спускаш перпендикуляри от L към AC и BC
LP перпендикулярно на АС
LQ перпендикулярно на ВС
=>LP=LQ (CL - ъглополвяща)
▲APL - правоъгълен
▲BQL - правоъгълен
1.x=x
2. PL=LQ
=>▲APL еднакъв на ▲BQL по катет и хипотенуза
=>PAL=QBL=α
A=B=α
▲ABC равнобедрен

[lam3r4370]

Благодаря Ви!