Многочлени на множители

[wenci]

Разложете многочлена на множители:
1) [tex]x^3+9x^2+11x-21[/tex]
2) [tex]x^3(x^2-7)^2-36x[/tex]
3) [tex]15x^3+x^2-2x[/tex]

[ева]

3 зад. 15[tex]x^{3}[/tex]+[tex]x^{2}[/tex]-2х=х(15[tex]x^{2}[/tex]+х-2)=х15(х-[tex]x_{1 }[/tex])(х-[tex]x_{2 }[/tex]) (1)
15[tex]x^{2}[/tex]+х-2=0
D=1+4.15.2=121=[tex]11^{2}[/tex] ;[tex]x_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{-1\pm11}{2.15}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex]=-[tex]\frac{2}{5}[/tex] (зам.в (1) )
15х(х-[tex]\frac{1}{3}[/tex])(х+[tex]\frac{2}{5}[/tex])=15х.[tex]\frac{3х-1}{3}[/tex].[tex]\frac{5х+2}{5}[/tex]=х(3х-1)(5х+2)

2 зад. [tex]x^{3}[/tex]([tex]x^{2}-7)^{2}[/tex]-36х=х[[tex]x^{2}[/tex]([tex]x^{2}-7)^{2}[/tex]-36]=х[ (х([tex]x^{2}-7) )^{2}[/tex]-[tex]6^{2}[/tex]]=х[х([tex]x^{2}[/tex]-7)-6][х([tex]x^{2}[/tex]-7)+6]=х([tex]x^{3}[/tex]-7х-6)([tex]x^{3}[/tex]-7х+6)

1 зад. [tex]x^{3}[/tex]+9[tex]x^{2}[/tex]+11х-21=[tex]x^{3}[/tex]+[tex]3^{3}[/tex]-[tex]3^{3}[/tex]+9[tex]x^{2}[/tex]+11х-21=([tex]x^{3}[/tex]+[tex]3^{3}[/tex])+9[tex]x^{2}[/tex]+11х-48=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]-3х+9)+9(х-[tex]x_{1 }[/tex])(х-[tex]x_{2 }[/tex]) (1)
9[tex]x^{2}[/tex]+11х-48=0 / D=121+1728=1849=[tex]43^{2}[/tex] ;[tex]x_{1 ,2}[/tex]=[tex]\frac{-11\pm43}{18}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]x_{1 }[/tex]=[tex]\frac{16}{9}[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex]=-3 (връщаме се към (1) )
(х+3)([tex]x^{2}[/tex]-3х+9)+9(х-[tex]\frac{16}{9}[/tex])(х+3)=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]-3х+9)+9.[tex]\frac{9х-16}{9}[/tex](х+3)=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]-3х+9+9х-16)=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]+6х-7)

[pal702004]

ева, първа и втора така ли ще ги оставим?

[ptj]

В седми клас учениците не знаят почти нищо за разлагането на полиноми, затова повечето решения са с групиране по метода "умен бях - сетих се".

По принцип нищо не пречи "само като факт" в учебниците да се добави опростен (разбираемо написан) вариант на теоремата за целочислени (или рационални) нули, т.е. децата да имат представа за "възможни" групирания.

[ева]

3 зад. 15[tex]x^{3}[/tex]+[tex]x^{2}[/tex]-2х=15[tex]x^{3}[/tex] +6[tex]x^{2}[/tex]-5[tex]x^{2}[/tex]-2х=(15[tex]x^{3}[/tex]-5[tex]x^{2}[/tex])+(6[tex]x^{2}[/tex]-2х)=5[tex]x^{2}[/tex](3х-1)+2х(3х-1)=(3х-1)(5[tex]x^{2}[/tex]+2х)=х(3х-1)(5х+2)

1 зад. [tex]x^{3}[/tex]+9[tex]x^{2}[/tex]+11х-21=[tex]x^{3}[/tex]+[tex]3^{3}[/tex]-[tex]3^{3}[/tex]+9[tex]x^{2}[/tex]+11х-21=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]-3х+9)+9[tex]x^{2}[/tex]+11х-48=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]-3х+9)+9[tex]x^{2}[/tex]+27х-16х-48=
=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]-3х+9)+9х(х+3)-16(х+3)=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]-3х+9)+(х+3)(9х-16)=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]-3х+9+9х-16)=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]+6х-7)

[pal702004]

ева, имах предвид че трябва да се доразложи на множители

в 1-ва задача
$(x^2+6x-7)$

във 2-ра задача
$(x^3-7x-6)$ и $(x^3-7x+6)$

[ева]

Pal,разбрах какво имаш предвид.Благодаря,че ме коригира.
1 зад. ...=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]+6х-7)=(х+3)([tex]x^{2}[/tex]+7х-х-7)=(х+3)[х(х+7)-(х+7)]=(х+3)(х+7)(х-1)

[ева]

2 зад. Разложихме така: ...х([tex]x^{3}[/tex]-7х-6)([tex]x^{3}[/tex]-7х+6)=х([tex]x^{3}[/tex]-х-6х-6)([tex]x^{3}[/tex]+[tex]x^{2}[/tex]-[tex]x^{2}-6х-х[/tex]+6)=х[ х([tex]x^{2}[/tex]-1)-6(х+1) ][ х([tex]x^{2}[/tex]+х-6)-([tex]x^{2}[/tex]+х-6)]=
=х[ х(х-1)(х+1)-6(х+1) ]([tex]x^{2}[/tex]+х-6)(х-1)=х(х+1)[ х(х-1)-6]([tex]x^{2}[/tex]+3х-2х-6)(х-1)=х(х+1)([tex]x^{2}[/tex]-х-6)[х(х+3)-2(х+3) ](х-1)=
=х(х+1)([tex]x^{2}[/tex]-3х+2х-6)(х+3)(х-2)(х-1)=х(х+1)[ х(х-3)+2(х-3) ](х+3)(х-2)(х-1)=
=х(х+1)(х-3)(х+2)(х+3)(х-2)(х-1)