Задачи от олимпиада

[aylin96]

1.Кой от посочените едночлени допълва двучлена [tex]x^{4}+16y^{2}[/tex]
А)[tex]-8^{2}y^{2}[/tex] Б)[tex]-4x^{2}y[/tex] В)[tex]4x^{2}[/tex] Г)[tex]8x^{2}y[/tex]

[ganka simeonova]

1.Кой от посочените едночлени допълва двучлена [tex]x^{4}+16y^{2}[/tex]
А)[tex]-8^{2}y^{2}[/tex] Б)[tex]-4x^{2}y[/tex] В)[tex]4x^{2}[/tex] Г)[tex]8x^{2}y[/tex]

Би трябвало да се каже:
Допълва двучлена до точен квадрат.
Тогава е отг г)
[tex]x^4+8x^2y+16y^2=(x^2+4y)^2[/tex]

[aylin96]

2.Да се докаже, че ако [tex]7a^{2}=7b^{2}+3c^{2} ,to(5a-2b+3c)(5a-2b-3c)=(2a-5b)^{2}[/tex]

[aylin96]

3.Намерете корените на уравнението І2x-5І=1. Ако x е по-малкият намерен корен на уравнението намерете числената стойност на израза [tex]\frac{1+3,5x}{2 }-(2-x)^{2}+\frac{5}{2 }[/tex]

[ganka simeonova]

2.Да се докаже, че ако [tex]7a^{2}=7b^{2}+3c^{2} ,to(5a-2a+3c)(5a-2b-3c)=(2a-5b)^{2}[/tex]

Имаш грешка в една буквичка Оправи си я.

[aylin96]

4. Ако ≠±b, то дробта[tex]\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}}{a^{2}-b^{2} }[/tex]

[Kamito]

2.Да се докаже, че ако [tex]7a^{2}=7b^{2}+3c^{2} ,to(5a-2a+3c)(5a-2b-3c)=(2a-5b)^{2}[/tex]

[tex](5a-2b+3c)(5a-2b-3c)=(5a-2b)^2-9c^2=25a^2-20ab+4b^2-9c^2[/tex]

[tex]7a^{2}=7b^{2}+3c^{2} |.3 => 21a^2=21b^2+9c^2[/tex] заместваме

[tex]25a^2-20ab+4b^2-9c^2=21a^2+4a^2-20ab+4b^2-9c^2=21b^2+9c^2+4a^2-20ab+4b^2-9c^2=[/tex]

[tex]=25b^2-20ab+4b^2=(5b-2a)^2[/tex] и така

[tex](5a-2a+3c)(5a-2b-3c)=(5b-2a)^2=(2a-5b)^{2}[/tex]

[aylin96]

2.Да се докаже, че ако [tex]7a^{2}=7b^{2}+3c^{2} ,to(5a-2b+3c)(5a-2b-3c)=(2a-5b)^{2}[/tex]

Имаш грешка в една буквичка Оправи си я.

[Kamito]

4. Ако ≠±b, то дробта[tex]\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}}{a^{2}-b^{2} }[/tex]

[tex]\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}}{a^{2}-b^{2} }=\frac{a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2}{(a+b)(a-b) }=\frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{(a-1)(a+1) }=\frac{(a^2-b^2)^2}{(a-b)(a+b) }=[/tex]

[tex]\frac{(a-b)^2(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}=(a-b)(a+b)=a^2-b^2[/tex]

[aylin96]

5.Точките P и Q са съответни от страните AB и BC на▲ABC, като AP:PB=1:2 и BQ:BC=1:2, а лицето на ▲ABC е S кв.см. Намерете лицата на ▲PBC и▲PBQ

[Kamito]

3.Намерете корените на уравнението І2x-5І=1. Ако x е по-малкият намерен корен на уравнението намерете числената стойност на израза [tex]\frac{1+3,5x}{2 }-(2-x)^{2}+\frac{5}{2 }[/tex]

[tex]|2x-5|=1[/tex]

[tex]2x-5=1[/tex]

[tex]2x=6[/tex]

[tex]x_1=3[/tex] или

[tex]2x-5=-1[/tex]

[tex]2x=4[/tex]

[tex]x_2=2[/tex]

[tex]x_2<x_1[/tex]

[tex]\frac{1+3,5x}{2 }-(2-x)^{2}+\frac{5}{2 }=\frac{1+\frac{7}{2 }.2 }{2 }-(2-2)^2+\frac{5}{2 }=4-0+2,5=6,5[/tex]

[aylin96]

6.Ако a+6 е с 5 по-малко от b, то с колко a-3е по-малко от b

[aylin96]

7.В склад за мебели има 14 бюра с по едно, две или три чекмеджета. Общо чекмеджета са 25 броя. Бюрата с по едно чекмедже са толкова, колкото тези с по две и три чекмеджета взети заедно.Колко са бюрата с по две чекмеджета.

[aylin96]

8.В [tex]\Delta ABC[/tex] с дължини на страните AB=16см. и BC=14см. от средата на страната AC е издигнат перпендикуляр, който пресича AB в точка P.[tex]\angle BAC=50^\circ \angle PCB:\angle BAC=2:5.[/tex] Намерете периметъра на [tex]\Delta PBC[/tex] и ъглите на[tex]\Delta ABC[/tex]

[aylin96]

9.Катер изминава разстоянието между две пристанища по течението на река за 4 часа, а срещу течението за 5 часа. Ако скоростта на течението е 2 km/h разстоянието между пристанищата е:

[aylin96]

9.Катер изминава разстоянието между две пристанища по течението на река за 4 часа, а срещу течението за 5 часа. Ако скоростта на течението е 2 km/h разстоянието между пристанищата е:

[Kamito]

6.Ако a+6 е с 5 по-малко от b, то с колко a-3е по-малко от b

[tex]a+6=b-5 => a-3+9=b-5 => a-3=b-14[/tex]

[aylin96]

5.Точките P и Q са съответни от страните AB и BC на▲ABC, като AP:PB=1:2 и BQ:BC=1:2, а лицето на ▲ABC е S кв.см. Намерете лицата на ▲PBC и▲PBQ

az poluchih pbc=[tex]\frac{2}{3 }[/tex] i pbq[tex]\frac{1}{ 3}[/tex]

[aylin96]

9.Катер изминава разстоянието между две пристанища по течението на река за 4 часа, а срещу течението за 5 часа. Ако скоростта на течението е 2 km/h разстоянието между пристанищата е:

80км.

[aylin96]

8.В [tex]\Delta ABC[/tex] с дължини на страните AB=16см. и BC=14см. от средата на страната AC е издигнат перпендикуляр, който пресича AB в точка P.[tex]\angle BAC=50^\circ \angle PCB:\angle BAC=2:5.[/tex] Намерете периметъра на [tex]\Delta PBC[/tex] и ъглите на[tex]\Delta ABC[/tex]

Тази задача как ще се реши.

[Sara86]

8.В [tex]\Delta ABC[/tex] с дължини на страните AB=16см. и BC=14см. от средата на страната AC е издигнат перпендикуляр, който пресича AB в точка P.[tex]\angle BAC=50^\circ \angle PCB:\angle BAC=2:5.[/tex] Намерете периметъра на [tex]\Delta PBC[/tex] и ъглите на[tex]\Delta ABC[/tex]

Тази задача как ще се реши.

Хайде да видим дали е вярно решението ми.
Чертеж: http://prikachi.com/images/45/3056045g.jpg
Дадено и търсеното е ясно, няма да го пиша.
Решение: [tex]\angle PCB:\angle BAC=2:5.[/tex]
=> [tex]\angle PCB=2x[/tex] [tex]\angle BAC=5x[/tex]
[tex]\angle BAC=50^\circ=5x[/tex]
=> [tex]x=10^\circ[/tex]
=> [tex]\angle[/tex]РСВ=2х=[tex]20^\circ[/tex]
разгл. ▲APM и ▲СРМ (точка m е средата на отсечката АС, откъдето е стпуснат перпендикуляр)
1) МР-обща
2) АМ=СМ (М среда на АС)
3) [tex]\angle[/tex]АМР=РМС[tex]\angle[/tex]=[tex]90^\circ[/tex]
=> ▲APM еднакъв на ▲СРМ (І признак)
=>[tex]\angle[/tex] РСМ=[tex]\angle[/tex]РАМ=[tex]50^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]АСВ= [tex]\angle[/tex]АСР+ [tex]\angle[/tex] ВСР
[tex]\angle[/tex]АСВ=[tex]70^\circ[/tex]
разгл. ▲АВС
[tex]\angle[/tex]А+[tex]\angle[/tex]В+[tex]\angle[/tex]С= [tex]180^\circ[/tex]
=>[tex]\angle[/tex]В=[tex]60^\circ[/tex]
От ▲APM еднакъв на ▲СРМ =>АР=РС=х
=> ВР=16-х
Р - периметър на ▲РСВ
Р=РВ+ВС+РС
Р= 16-х+14+х
Р=30см

[kucheto]

8.В [tex]\Delta ABC[/tex] с дължини на страните AB=16см. и BC=14см. от средата на страната AC е издигнат перпендикуляр, който пресича AB в точка P.[tex]\angle BAC=50^\circ \angle PCB:\angle BAC=2:5.[/tex] Намерете периметъра на [tex]\Delta PBC[/tex] и ъглите на[tex]\Delta ABC[/tex]

Тази задача как ще се реши.

Тази задача не може да се реши, тъй като е грешна. Една проста проверка на синусова теорема (която се учи в 10-ти клас) показва, че триъгълник с дадени страни и ъгли НЕ съществува, но явно този който е съставял задачата, не е отчел, че макар и 7-класниците да не са чували за тригонометрия, то не може да се съставят грешни задачи. Иначе решението по-горе е напълно правилно, за разлика от задачата...

П.С. Задачата може да има някакъв смисъл, ако не се търсят ъглите на ABC, а само периметърът на PBC.

[Kamito]

Хайде да видим дали е вярно решението ми.
Чертеж: http://prikachi.com/images/45/3056045g.jpg
Дадено и търсеното е ясно, няма да го пиша.
Решение: [tex]\angle PCB:\angle BAC=2:5.[/tex]
=> [tex]\angle PCB=2x[/tex] [tex]\angle BAC=5x[/tex]
[tex]\angle BAC=50^\circ=5x[/tex]
=> [tex]x=10^\circ[/tex]
=> [tex]\angle[/tex]РСВ=2х=[tex]20^\circ[/tex]
разгл. ▲APM и ▲СРМ (точка m е средата на отсечката АС, откъдето е стпуснат перпендикуляр)
1) МР-обща
2) АМ=СМ (М среда на АС)
3) [tex]\angle[/tex]АМР=РМС[tex]\angle[/tex]=[tex]90^\circ[/tex]
=> ▲APM еднакъв на ▲СРМ (І признак)
=>[tex]\angle[/tex] РСМ=[tex]\angle[/tex]РАМ=[tex]50^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]АСВ= [tex]\angle[/tex]АСР+ [tex]\angle[/tex] ВСР
[tex]\angle[/tex]АСВ=[tex]70^\circ[/tex]
разгл. ▲АВС
[tex]\angle[/tex]А+[tex]\angle[/tex]В+[tex]\angle[/tex]С= [tex]180^\circ[/tex]
=>[tex]\angle[/tex]В=[tex]60^\circ[/tex]
От ▲APM еднакъв на ▲СРМ =>АР=РС=х
=> ВР=16-х
Р - периметър на ▲РСВ
Р=РВ+ВС+РС
Р= 16-х+14+х
Р=30см

Ами то, нали този перпендикуляр се явява симетрала на АС, защото минава през средата ѝ, и оттам направо АР=СР и [tex]\angle CAP=\angle ACP[/tex] - няма нужда да разглеждаш еднакви триъгълници

–––––––––––––––––

[Sara86]

Ами то, нали този перпендикуляр се явява симетрала на АС, защото минава през средата ѝ, и оттам направо АР=СР и [tex]\angle CAP=\angle ACP[/tex] - няма нужда да разглеждаш еднакви триъгълници

–––––––––––––––––

Да... Но нали и така може да се напише? Въпреки че с доказване, че е симетрала е много по-лесно...

[Toshko_96]

9.Катер изминава разстоянието между две пристанища по течението на река за 4 часа, а срещу течението за 5 часа. Ако скоростта на течението е 2 km/h разстоянието между пристанищата е:

t1=4ч
t2=5ч
Означаваме скороста на катера
x-скорост на катера
v1=x+2
v2=x-2
Пътя е еднакъв,следователно
4(x+2)=5(x-2)
4x+8=5x-10
18=x
x=18км/ч
И тук заместваш в който от двата случая решиш.Получава се 80 км.