Сбор от ъгли в триагалник

[wenci]

1зад
Страната AB в ▲ABC е по-голяма от страната AC.Върху AB е избрана такава точка M, че AM=AC.Ъглополовящата на ъгъл BMC е успоредна на AC.Да се намери ъгъл BAC

2зад
Върху страните AC и BC на ▲ABC са взети съответно такива точки M и N,че AB=AN=BM.Отсечките AM и BM се пресичат в точка P.Да се докаже, че ъгъл APM=2ACB

3зад
Ъглополовящите AL1 и BL2 на ▲ABC сключват равни ъгли съответно със страните BC и AC.Да се намери зависимост между ъглите BAC и ABC на ▲ABC

[ева]

1 зад. [tex]\angle[/tex]ВАС=?
Нека в [tex]\triangle[/tex]МВС-ML е ъглопол.на [tex]\angle[/tex]ВМС и [tex]\angle[/tex]BML=[tex]\angle[/tex]CML=[tex]\alpha[/tex],тогава [tex]\angle[/tex]АМС=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex] (съседен)
[tex]\triangle[/tex]АМС-равнобедрен (по условие)[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]МСА=[tex]\angle[/tex]АМС=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]МАС=180[tex]^\circ[/tex]-2(180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex]) ;[tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\angle[/tex]МАС=4[tex]\alpha[/tex]-180[tex]^\circ[/tex] (1)
ML е успоредна на АС(по условие)[tex]\Rightarrow[/tex] (2) [tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\angle[/tex]BML (съответни) ползваме (1))
т.е.4[tex]\alpha[/tex]-180[tex]^\circ[/tex]=[tex]\alpha[/tex] ; [tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{180^\circ}{3}[/tex]=60[tex]^\circ[/tex]
от (2) [tex]\angle[/tex]ВАС=[tex]\alpha[/tex]=60[tex]^\circ[/tex]
отг.60[tex]^\circ[/tex]