Неравенства в триъгълник

[Sara86]

Имам една задачка за домашно, която има 3 подточки. Едната я реших, но другите две не мога. Ето ги:
б) Периметърът на равнобедрен ▲ е 27 см. Съществува ли ▲, основата на който е с 3 см по-голяма от бедрото?
в) Съществува ли равнобедрен ▲, основата на който е 5/2* от бедрото му?
*5/2 - пет втори

[MathBet]

б) Да. Бедрата са по [tex]x[/tex], основата е [tex]x + 3[/tex].
[tex]2x + x + 3 = 27[/tex]
[tex]x = 8[/tex]
Страните стават 8,8 и 11. Сега трябва сбора на всеки две да е по-голям от третата, което е очевидно изпълнено.

в) Не. Ако бедрата са по [tex]x[/tex], основата ще е [tex]\frac{5}{2 } x[/tex]. Сега сбора на бедрата трябва да е по-голям от основата, но [tex]2x < \frac{5}{2 } x[/tex] => не съществува такъв триъгълник.

[Sara86]

Тъкмо щях да напиша, че съм ги решила сама, но все пак мерси.

[Sara86]

Отново съм тук за да помоля за помощ за едни задачки...Значи имам предположения кой е правилният отговор на тези с подточките, но не мога да го докажа...
1. Чертеж: http://prikachi.com/images/249/3247249m.png
Вярно ли е, че:
а) периметърът на АВС = периметърът на PQR
б) периметърът на АВС е по-малък от периметъра на PQR
в) периметърът на АВС е по-голям от периметъра на PQR
г) нито а), нито б),нито в)
Аз мисля, че е в), но не знам как да го напиша в доказателство...

2. Чертеж: http://prikachi.com/images/273/3247273Y.png
Ако р е порупериметърът на ▲АВС и Р е вътрешна точка за ▲АВС, то за сбора РА+РВ+РС е изпълнено:
а) РА+РВ+РС=p
б) РА+РВ+РС<p
в) РА+РВ+РС>p
г) никое от тях
Тук нямам ясно предположение..НО все пак мисля че е или а) или в)...

3. Даден е равностранен ▲ АВС със страна а и височина h. Вярно е, че:
а) a/2>h ; h>3a/2
б) a/2<h ; h<3a/2
в) a/2<h ; h>3a/2
г) a/2>h ; h<3a/2
Няма чертеж и нещо не се досещам за решението...

4. Ако страните на ▲, измерени в една и съща мерна единица, са 4, х и 9 и х е естествено число, то най-малкият възможен периметър на ▲ е:
а) 18 б)19 в)20 г) 21
Мисля, че е б), но как да го докажа?
И всъщност има още една задачка (по-сложна според мен), но ако видя решенията на тези, сигурно ще се справя и с нея. Благодаря предварително на този, който смята да ме упъти или напише решенията на задачите!

[Toshko_96]

Отново съм тук за да помоля за помощ за едни задачки...Значи имам предположения кой е правилният отговор на тези с подточките, но не мога да го докажа...
1. Чертеж: http://prikachi.com/images/249/3247249m.png
Вярно ли е, че:
а) периметърът на АВС = периметърът на PQR
б) периметърът на АВС е по-малък от периметъра на PQR
в) периметърът на АВС е по-голям от периметъра на PQR
г) нито а), нито б),нито в)
Аз мисля, че е в), но не знам как да го напиша в доказателство...

2. Чертеж: http://prikachi.com/images/273/3247273Y.png
Ако р е порупериметърът на ▲АВС и Р е вътрешна точка за ▲АВС, то за сбора РА+РВ+РС е изпълнено:
а) РА+РВ+РС=p
б) РА+РВ+РС<p
в) РА+РВ+РС>p
г) никое от тях
Тук нямам ясно предположение..НО все пак мисля че е или а) или в)...

3. Даден е равностранен ▲ АВС със страна а и височина h. Вярно е, че:
а) a/2>h ; h>3a/2
б) a/2<h ; h<3a/2
в) a/2<h ; h>3a/2
г) a/2>h ; h<3a/2
Няма чертеж и нещо не се досещам за решението...

4. Ако страните на ▲, измерени в една и съща мерна единица, са 4, х и 9 и х е естествено число, то най-малкият възможен периметър на ▲ е:
а) 18 б)19 в)20 г) 21
Мисля, че е б), но как да го докажа?
И всъщност има още една задачка (по-сложна според мен), но ако видя решенията на тези, сигурно ще се справя и с нея. Благодаря предварително на този, който смята да ме упъти или напише решенията на задачите!

зад.1

Такаа,харесваме си 3 триъгълника
PRB,QRA,PCQ

Започваме с PRB
От изученото следва,че PR<RB+BP
QCP
От изученото следва,че QP<PC+CQ
QRA
От изученото следва,че QR<QA+AR
Събираме почленно

PR+QP+QR<RB+BP+PC+CQ+QA+AR
RB+AR=AB
CQ+QA=AC
BP+PC=BC
=> PR+QP+QR<AB+BC+CA

зад.2
Такаа,тук също си харесваме 3 триъгълника.
APC,PBC,APB
APC
От изученото следва,че AC<AP+PC
PBC
От изученото следва,че CB<PB+PC
APB
От изученото следва,че AB<AP+PB
Събираме почленно
AC+CB+AB<2AP+2PC+2PB
Делим на 2
[tex]\frac{AC+CB+AB}{2}<AP+PC+PB[/tex]

зад.3
Тук викам да си направиш чертеж,да дадеж име на петата на височината(H папример).Аз съм спуснал височината от C.
Използвай от теоремите,че CH e височина,ъглополовяща и медиана.
Да вземем триъгълник AHC(той също така е еднакъв на HBC).
[tex]AH=\frac{a}{2}[/tex]
Виж ъглите в триъгълника
От тях следва,че [tex]\frac{a}{2}<h[/tex]
От теоремите за триъгълник следва,че
AC+AH>CH
[tex]a+\frac{a}{2}>h[/tex]
[tex]\frac{3a}{2}>h[/tex]

зад.4
x 4 9
От теоремите за триъгълник следва че:
x<13
x>5
Тъй като искат най-малкия периметър,тогава взимаме най-малкия X ,а именно 6
тогава P=6+4+9=19

[Sara86]

Едно огрооомно благодаря за задачките. Мисля, че ги схванах.