Намерете <AOB

[stanko2121]

В ромба ABCD <ABC е по голям от 90°, BK е перпендикулярна на AD, K лежи на AD. Правите BK и AC се пресичат в точка O и AC=2BK. Намерете <AOB

[Martin Nikovski]

Построяваме [tex]CC_1\bot AB[/tex] и [tex]DD_1\bot AB[/tex] - височини на ромба.
[tex]CC_1=DD_1=h[/tex]

Разглеждаме [tex]\Delta AKB[/tex] и [tex]\Delta AD_1D[/tex]:
1. [tex]AB=AD[/tex] (тъй като [tex]ABCD[/tex] е ромб)
2. [tex]\angle AKB=\angle AD_1D=90^\circ[/tex] - по условие и построение
3. [tex]\angle KAB\equiv \angle D_1AD[/tex]
Следователно [tex]\Delta AKB \simeq \Delta AD_1D[/tex] - еднакви по втори признак.
Оттук [tex]BK=DD_1=h=CC_1[/tex]
По условие [tex]AC=2BK=2h\ \Rightarrow\ AC=2CC_1[/tex].

Разглеждаме [tex]\Delta AC_1C\left(\angle AC_1C=90^\circ\right)[/tex]:
[tex]AC=2CC_1\ \Rightarrow\ \angle CAC_1=30^\circ[/tex]
[tex]AC[/tex] - диагонал в ромба [tex]ABCD[/tex]. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AC[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BAD[/tex]
Следователно [tex]\angle BAD=2\angle BAC=2.30^\circ =60^\circ[/tex]
В [tex]\Delta ABK[/tex]: [tex]\angle ABK=180^\circ -\angle BAK-\angle AKB=180^\circ -60^\circ -90^\circ =30^\circ[/tex]
В [tex]\Delta AOB[/tex]: [tex]\angle AOB=180^\circ -\angle OAB-\angle OBA=180^\circ -30^\circ -30^\circ =120^\circ[/tex]