Задача за еднаквост на триъгълниците

[djanito_97]

В ▲ABCD и ▲ А1В1С1 , СМ и С1М1 са медиани,АМ=А1М1, ъгъл А = на ъгъл А1, ъгъл ВМС е равен на ъгъл В1М1С1.
Докажете ,че :
а)▲АМС е еднакъв на ▲А1М1С1
б)▲АВС е еднакъв на▲А1В1С1

[anto]

Задачката не е трудна. Най-напред Разглеждаш триъгълниците АМС и А1М1С1. Те са еднакви, Защото:
!. Ъгъл ЬПС= ъгъл А1М1С1 като съседни на равни ъгли.
2. Ъгъл А= ъгълА1 / по условие/
3. Щом двата ъгъла са равни, тож и третият еравен /180 градуса - равни ъгли/
4. СМ" С1М1
Щом триъгълниците АМС и А1М1С1 са еднакви, то АМ=А1М1, но те са половинки, следователно АВ=А1В1.
Също и АС=А1С1. Така за големите триъгълници имаш по две равни страни и ъгъл, заключен между тях. Това е І-ви признак за еднаквост.

[Sara86]

Здравейте! Знам, че задачката е лесна, но след 130 думи по английски и 2 по-прости задачки просто блокирах...
Ето задачата:
Докажете, че два правоъгълни триъгълника са еднакви по:
а) катет и височина към хипотенузата
б) катет и медиана към единия от катетите

Значи аз б подточка я направих, но не съм сигурна, че е правилна.. Затова по-важна ми е а) която просто не мога да реша.. А като някой ми я напише съм сигурна, че ще излезе някаква лесна като за тройка...

[Добромир Глухаров]

Построяваш катета и от върха на правия ъгъл, взет за център, построяваш окръжност с радиус височината към хипотенузата. От другия край на катета прекарваш допирателна към тази окръжност - тази допирателна ще съдържа хипотенузата - там, където пресича другото рамо на правия ъгъл е третия връх на триъгълника.

От построението се вижда, че дадените елементи определят еднозначно триъгълника. Следователно щом те са съответно едни и същи в два триъгълника, тези триъгълници са еднакви.

[Xixibg]

Нека [tex]H[/tex] е петата на височината към [tex]AB , \angle C=90 , AC=A_1C_1[/tex]
Нека [tex]H_1[/tex] е петата на височината към [tex]A_1B_1 , \angle C_1=90[/tex]
[tex]\triangle AHC[/tex] е еднакъв на [tex]\triangle A_1H_1C_1[/tex] по 4ти признак,
[tex]1.\angle AHC=\angle A_1H_1C_1=90[/tex]
[tex]2.AC=A_1C_1[/tex] по условие
[tex]2.CH=C_1H_1[/tex] по условие
[tex]=>\angle BAC=\angle B_1A_1C_1[/tex]
[tex]=>\triangle ABC[/tex] е еднакъв на [tex]\triangle A_1B_1C_1[/tex] по 2 ри признак.
[tex]1.\angle BAC=\angle B_1A_1C_1[/tex]
[tex]2.AC=A_1C_1[/tex]
[tex]3. \angle ACB=\angle A_1C_1B_1=90[/tex]

[amsara]

Нека триъгълниците ти са [tex]ABC & A_{1}B_{1}C_{1}[/tex]
[tex]=> \angle ABC = < A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] (1), AB=A_{1}B_{1} [/tex]
[tex]AH=A_{1}H_{1}; AH \bot BC, A_{1}H_{1} \bot B_{1}C_{1}[/tex]
[tex]\Delta AHB = \Delta A_{1}H_{1}B_{1}[/tex]по признака за катет и хипотенуза
[tex]=> \angle ABC = < A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] (1)
[tex]=>90 ^\circ = 90^\circ[/tex] (2)
[tex]AB=A_{1}B_{1}[/tex] (3)
От 1,2 и 3 =>[tex]\Delta ABC = \Delta A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] по страна и два прилежащи й ъгъла

[Sara86]

Благодаря ви мноого за бързите отговори

[Sara86]

Пак имам проблем.. Не ми се вярваше толкова да съм зле тази година..
Добре.. този път ще напиша това, което съм направила и моля, поправете ме ако имам грешка.
1. Диагоналите АС и ВD на четириъгълник ABCD се пресичат в точка O. Докажете, че ABCD е правоъгълник, ако BCІІAD и AO=CO=DO.
И ето това, което направих:
[tex]\Delta COD[/tex] - равнобедрен [tex]=> DO=CO => \angle ODC=\angle OCD=\alpha[/tex]
[tex]ADIIBC => \angle CDO= \angle DBA = \alpha[/tex] (кръстни)
[tex]\angle OCD= \angle BAO = \alpha[/tex] (кръстни)
[tex]\Delta AOB[/tex] - равнобедрен [tex]\angle OAB = \angle ABO => AO=BO[/tex]
[tex]AO=OC=BO=OD => AO+OC=AC ; BO+OD=BD => AC=BD =>
ABCD[/tex]-правоъгълник.. Моля кажете какво пропускам, защото знам, че нещо липсва...

2. Даден е ромб с диагонали AC=12см и BD=4см. Точките М и N разделят диагонала АС на три равни части. Докажете, че BMND е квадрат и намерете лицето му.
[tex]AM=NM=NC=4[/tex] см и става, че диагоналите на "квадрата" са 4 и 4. И са взаимно перпендикулярни. Въпросът ми е как да докажа, че DNIIBM и DMIIBN? Също и че са равни.. (съжалявам, че на чертежа не прилича на квадрат това, което би трябвало да е квадрата..)

3. Успоредник ABCD,точките M и N са среди съответно на страните AB и CD. Докажете, че AMCN е успоредник.
По тази не съм мислила много..признавам.. Но като я видя се сещам на секундата, че NCIIAM.. друго...за момента не..

П.С. Мислех си за 2-рата задача.. Може ли да ползвам, че DNC и CNB са еднакви по І-ви признак, за да докажа, че DN=NB или е ненужно?
На последната задача доказах, че ▲AND е еднакъв на ▲MBC и оттам, че AN=MC.. Но как да докажа, че ANIIMC?

[amsara]

1.Разгледай два еднакви триъгълника - AOD , BOC =>AD=BC
Те по условие са успоредни =>ABCD e успоредник.
▲AOD e равнобедрен.=><OAD=<ADO=α =><AOD=<BOC=180-2α
<DOC=2α
▲COD e равнобедрен =><ODC=<OCD=(180-2α)/2=90-α
<ADC=α+90-α=90°
Успоредник с прав ъгъл е...

2.Разгледай 4 еднакви малки триъгълничета, съставящи бъдещия квадрат.От еднаквостта им получаваш 4 равни страни за ромб.Всъщност условието за равни, разполовяващи се, взаимно перпендикулярни диагонали, ти е достатъчно, за да кажеш ,че ромбът е квадрат.Но щом искаш и числово да го докажеш това, виж, че тези четири правоъгълни триъгълничета са и равнобедрени.Значи имат по два остри ъгъла от 45°=><BMD=2.45=90°
Ромб с прав ъгъл е..

3.Въобще не зная, защо задачата е в дял "Еднакви триъгълници".Самият факт, че двете прави са ти равни като дължина, понеже M и N са среди на равни страни на успоредника ABCD и същевремнно са успоредни помежду си, ти е предостатъчен да докажеш, че новополучената фигура AMCN също е успоредник.

[Sara86]

Благодаря ти мнооого! Само имам въпрос към третата..Значи тя поначало нито една от тези не е в раздел Еднакви триъгълници, но не ми се отваряше нова тема и затова писах тук.. Та..за последната задача.. не разбрах откъде MC е успоредна на AN.. Всъщност това е, което не мога да докажа.. (сори ако въпроса е мн глупав..)

[amsara]

Говоря за другите две страни на успоредника.
M и N са среди на AB и CD.=>AM=BM=CN=ND
1.AM=NC
2. AM || NC
=>AMCN...е успоредник.

[Sara86]

Говоря за другите две страни на успоредника.
M и N са среди на AB и CD.=>AM=BM=CN=ND
1.AM=NC
2. AM || NC
=>AMCN...е успоредник.

ахаааа Мерси мноого! Лека вечер.