формули за съкратено умножение

[ivonej]

намерете числената стойност на израза (x)3+(y)3, ако x+y=4; xy=5

[strangerforever]

[tex]x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)[(x+y)^2 - 3xy] = 4(16 - 15) = 4[/tex]

Може и:

[tex]x + y = 4 \Leftrightarrow x^3 + y^3 + 3xy(x+y) = 64 \Leftrightarrow x^3 + y^3 = 64 - 3.5.4 = 4[/tex]

П.С.: Не съществуват реални x,y отговарящи на условията.

[Xixibg]

[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
[tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]
[tex](a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3[/tex]
[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]
[tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]
[tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex]

Това се учи в седми клас....

Ето и някои интересни разлагания с помощта на [tex](a+b) , ab[/tex]

[tex]a^2+b^2=a^2+2ab-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab[/tex]
[tex]a^3+b^3=a^3+3a^2b-3a^2b+3ab^2-3ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2=(a+b)^3-3ab(a+b)[/tex]
[tex]a^4+b^4=a^4+2a^2b^2+b^4-2a^2b^2=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2=[(a+b)^2-2ab]^2-2(ab)^2[/tex]
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}[/tex]
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{(ab)^2}=\frac{(a+b)^2-2ab}{(ab)^2}[/tex]
[tex]\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}=\frac{a^3+b^3}{(ab)^3}=\frac{(a+b)^3-3ab(a+b)}{(ab)^3}[/tex]
[tex]\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}=\frac{a^4+b^4}{(ab)^4}=\frac{[(a+b)^2-2ab]^2-2(ab)^2}{(ab)^4}[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Цяла лекция изнесе xixibg

[Xixibg]

ООО това се ползва отново като се учат формулите на Виет мисля в 9-ти клас
Така че нека да помогнем на седмокласниците да им е лесно и нататък
Тук поне лекциите са безплатни

[Mr.G{}{}Fy]

:geek: ООО това се ползва отново като се учат формулите на Виет мисля в 9-ти клас
Така че нека да помогнем на седмокласниците да им е лесно и нататък
Тук поне лекциите са безплатни

Така е използва се и при Виет и при симетричните полиноми Затова и е елементарно за един 10-класник например,докато на малките им е трудничко сигурно и е хубаво,че ги обяснихте.А пък миналото ми мнение беше в кръга на шегата (да не стане някое недоразумение!) А към автора на задачата: тези неща,които написа xixibg е хубаво да се пробваш да ги разбереш от сега,ако можеш

[strangerforever]

И все пак задачата е некоректна.

[Mr.G{}{}Fy]

И все пак задачата е некоректна.

Наистина така излиза

[Mr.G{}{}Fy]

И все пак задачата е некоректна.

Наистина така излиза

[amsara]

Вероятно са разменени стойностите.

намерете числената стойност на израза (x)3+(y)3, ако x+y=4; xy=5

И не е като в цитата, а може би така:
[tex]x+y=5; xy=4[/tex]
Тогава и стойността на изразa е друга.
[tex]x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x+y)^2-2xy-xy]=(x+y)[(x+y)^2-3xy]=[/tex]
[tex]=5[5^2-3.4]=5(25-12)=5.13=65[/tex]

[trig]

В задачката не се пита "намерете реални х и у, за които...", което наистина би било некоректно в дадения случай, а е казано "при такива и такива условия, пресметнете еди какво си", в което няма нищо нередно. Интересното явление в това примерче, е че на практика седмокласниците правят една сметка с комплексни числа, без дори да подозират за тяхното съществуване

[alexander_ivanov]

съгласен съм че няма реални решения на системата:
|x+y=4
|xy=5
, но все пак съм 7-мо класник и знам какво са комплексни числа, еми като се замисля то ние само за това си говорим със съучениците в класа - за комплексни числа,фрактали,фрактална геометния...

[trig]

Мм браво, щом знаеш е похвално. Ако си говорите и с даскалите за това, още по-добре. А ще покажеш ли тогава на връсниците си седмокласници как ще стане сметката в явна форма с комплексни числа?

[ganka simeonova]

Мм браво, щом знаеш е похвално. Ако си говорите и с даскалите за това, още по-добре. А ще покажеш ли тогава на връсниците си седмокласници как ще стане сметката в явна форма с комплексни числа?

Май навлизате в дълбоки води с тази 7-класна тема
Идеята е да се научат седмкласнниците да боравят с основните полиноми [tex]x-y; x+y; xy[/tex] и тяхното приложение за пресмятане на [tex]x^2+y^2; x^3\pm y^3; x^4+y^4[/tex]

[alexander_ivanov]

имаме система :
[tex]|x+y=4[/tex]
[tex]|xy=5[/tex]
=> от 1-вото уравнение[tex]x=4-y[/tex] заместваме във второто и получавамe [tex]4y-y^2=5[/tex] от това получаваме квадратното уравнение [tex]-1y^2+4y-5=0
=> y_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{16-4.(-1).(-5)} }{2.(-1)}=\frac{-4\pm \sqrt{(-1).2^2}}{-2}=\frac{-4\pm 2i}{-2}=2\mp i[/tex]

[amsara]

Мм браво, щом знаеш е похвално. Ако си говорите и с даскалите за това, още по-добре. А ще покажеш ли тогава на връсниците си седмокласници как ще стане сметката в явна форма с комплексни числа?

Достатъчно е човек да чете редовно форума и може да научи много неща, дори без да ги е обсъждал с учителите. Защото все си мисля, че такива неща учителите коментират с ученици в математическите.За имагинерната единица и комплексните решения на едно уравнение научих тук точно в средdта на 7 клас.И не намирам нищо трудно.
[tex]|x+y=4[/tex]
[tex]|xy=5[/tex]
[tex]x=\frac{5}{y }[/tex]
[tex]\frac{5}{ y}+y=4 <=>y^2-4y+5=0[/tex]
[tex]y_{1}=2+i,y_{2}=2-i[/tex]
[tex]x_{1}=2-i,x_{2}=2+i[/tex]
=>[tex](2+i)^3+(2-i)^3=(2+i+2-i)(4+4i+i^2-4+i^2+4-4i+i^2)=4(3i^2+4)=4(-3+4)=4.1=4[/tex]

[alexander_ivanov]

от тук [tex]x_{1,2}=4-2\pm i=2\pm i[/tex]
=>[tex]x_1^3+y_1^3=x_2^3+y_2^3=(2-i)^3+(2+i)^3=8-12i-6-i+8+12i-6+i=2.8-2.6=16-12=4[/tex]

[ganka simeonova]

Сравнете числата

[tex]2+3i[/tex] и [tex]4-3i[/tex]

Moля, да пишат само 7-, 8- и 9-класници

[ganka simeonova]

2 зад:) Пак за 7-; 8-; 9- класници;)
Представете чрез комплексно число от вида [tex]a+ib[/tex]

[tex]\frac{3-2i}{3+2i}[/tex]

[amsara]

Пак тук съм чела, че познатите ни сравнения с > и < не важат за комплексните числа.Тоест не може да ги сравняваме.

[ganka simeonova]

Пак тук съм чела, че познатите ни сравнения с > и < не важат за комплексните числа.Тоест не може да ги сравняваме.

А защо не можем да ги сравняваме?

[amsara]

Пак тук съм чела, че познатите ни сравнения с > и < не важат за комплексните числа.Тоест не може да ги сравняваме.

А защо не можем да ги сравняваме?

Ех, госпожо, разбрах ви май. Целите да ми покажете да спра да се занимавам с нещо дето не ми е работа.Без това ме чака една друга задача.
Ама какво да направя, като съм го чела сега и това.Вие преди ме пратихте в стария форум Май не можем да ги сравняваме ,защото те нямат подредба, така както имат реалните числа.

2 зад:) Пак за 7-; 8-; 9- класници;)
Представете чрез комплексно число от вида [tex]a+ib[/tex]

[tex]\frac{3-2i}{3+2i}[/tex]

А за това не съм много сигурна, но от инат ще се пробвам.
[tex]\frac{3-2i}{3+2i }=\frac{(3-2i)(3+2i)}{(3+2i)^2 }=\frac{9-4i^2}{9+12i+4i^2 }= [ /tex]
[tex]=\frac{9+4}{5+12i }=\frac{13(5-12i)}{25-144i^2 }=\frac{13(5-12i)}{ 169}=\frac{5-12i}{13 }=[/tex]
[tex]=\frac{5}{13 }-\frac{12i}{13 }[/tex]
Така ли е И да е, и да не е, отивам да решавам друго и преставам да пиша в седмокласната тема тия работи.

[strangerforever]

Хайде сега да се питаме и колко е [tex]-e^{i\pi}[/tex]

[ganka simeonova]

Сара, аз лично си мисля, че за всяко нещо си има време:)
Едно познание се усвоява добре, когато се разбира:) Не значи, че само знаете, че [tex]i^2=-1[/tex],разбирате вече всичко за комплексните числа:)
По принцип, няма лошо човек да изпреварва нещата, но все пак
А комплексните числа не се сравняват, защото в/у координатната система не се изобразяват като точки, както познатите ви реални числа в/у числовата ос.
Иначе, за делението и представянето като комплексно число, браво:)

[ganka simeonova]

Искам да решиш другата задача, Сара