външно оценяване втори модул 7 клас

[violetka64]

13 души изяли 13 пици на вечеря. Всеки мъж изял по 2 пици, всяка жена по половин, а всяко дете по една четвърт пица. Намерете броя на децата, които са били на вечеря. Моля за решение на задачата!

[illusive]

5 мъже 4 жени и 4 деца

[kucheto]

[tex]x+y+z=13\\2x+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=13\Rightarrow 8x+2y+z=52\\z=13-(x+y)\Rightarrow 7x+y=39\Rightarrow x<6\\x+y\le 13\\x<4\Rightarrow y\ge 18>13\\x=4\Rightarrow y=11;\ x+y=15>13\\x=5\Rightarrow y=4,\ z=4[/tex]

[ptj]

Така написано е тежко за разбиране за ученик в 7-ми клас.

Вероятно оригиналното решението е подобно на:

Понеже мъжете са изяли по 2 пици, то техния брой е не повече от 6.
Затова ще разгледаме вариантите съобразно техния брой.

1-ви сл.
6 мъже са изяли 12 пици. Тогава оставащата 13-та пица е изядена най-много от 4 човека (деца) и няма как общия брой на всички да е 13 (мъже+жени+деца).

2-ри сл.
5 мъже са изяли 10 пици. Тогава ако жените са [tex]y[/tex], а децата [tex]z[/tex] ще получим:
[tex]5+y+z=13[/tex] и [tex]2.5+\frac{y}{2 }+\frac{z}{4 } =13[/tex], чието решение е [tex]y=z=4[/tex].

3-ти сл.
Мъжете са 4 и са изяли 8 пици. Максималния брой (оставащи до 13) жени и деца е 9, а те могат да изядат най-много още 4,5 пици (9 x 1/2). Тогава общия брой на всички изядени пици ще е не по-голям от 12,5 , т.е. няма решение.

(*) Останалите случаи няма смисъл да се разглеждат, защото замяната на мъж с жена или мъж с дете намаля общия брои изядени пици, т.е. те също нямат решение.

П.П. Макар и лесна на пръв поглед, задачата е доста трудна за обяснение заради многото случаи. Не е подходяща за 2-ри модул от външно оценяване. Подходяща е за състезание по математика в по-ниска възрастова група.

П.ПП.Стандартния начин е с решение на диофантово уравнение в цели числа [tex](6y+7z=52)[/tex]
, но то изобщо не влиза в училищната програма.

[loving_math]

Задачата наистина не е от типа задачи, падащи се на втори модул. Но може да бъде решена и от седмокласник, без някакви особени заложби по математика.Ето още едно предложение за решение, подобно на даденото от ptj.
[tex]x, y, z[/tex]-броят съответно на мъже, жени и деца.[tex]x, y, z \in N[/tex]
[tex]x+y+z=13 <=> 2x+2y+2z=26 <=> 2x=26-2y-2z[/tex] *
[tex]2x+\frac{y}{2 }+\frac{z}{4 }=13 <=> 2x=13-\frac{y}{2 }-\frac{z}{4 }[/tex] **
От * и ** =>[tex]26-2y-2z=13-\frac{y}{2 }-\frac{z}{4 }[/tex]
[tex]104-8y-8z=52-2y-z <=> 6y+7z=52[/tex]при [tex]y,z \in N[/tex]
От равенството става ясно, че максималната стойност, която може да приеме у е 8. Съответно разглеждаме осемте случая.
[tex]y=1 =>6+7z=52, 7z=46, z=\frac{46}{7 } => z \notin N => y=1[/tex] не е решение
[tex]y=2 =>12+7z=52, 7z=40, z=\frac{40}{7 } => z \notin N => y=2[/tex] не е решение
[tex]y=3 =>18+7z=52, 7z=34, z=\frac{34}{7 } => z \notin N => y=3[/tex] не е решение
[tex]y=4 =>24+7z=52, 7z=28, z=\frac{28}{7 }=4 => z \in N => y=4[/tex] е решение
[tex]y=5 =>30+7z=52, 7z=22, z=\frac{22}{7 } => z \notin N => y=5[/tex] не е решение
[tex]y=6 => 36+7z=52, 7z=16, z=\frac{16}{7 } => z \notin N => y=6[/tex] не е решение
[tex]y=7 =>42+7z=52, 7z=10, z=\frac{10}{7 } => z \notin N => y=7[/tex] не е решение
[tex]y=8 =>48+7z=52, 7z=4, z=\frac{4}{7 } => z \notin N => y=8[/tex] не е решение
[tex]=>y=4, z=4 => x=13-2.4=13-8=5[/tex]
[tex]=>5[/tex]мъже, [tex]4[/tex] жени и [tex]4[/tex] деца.

[violetka64]

Благодаря ВИ много.

[ptj]

Едно друго решение използващо [tex]6y+7z=52[/tex] и делимост.

Тъй като [tex]y[/tex] и [tex]z[/tex] са естествени числа, веднага се виждат ограниченията
[tex]1\le y\le 7[/tex] и [tex]1\le z\le6[/tex].

[tex]6y\equiv 0 \pmod6[/tex] => [tex]52-7z\equiv 4-z \pmod6[/tex] => [tex]z\equiv 4 \pmod6[/tex]

Съобразявайки се с ограничението намираме [tex]z=4[/tex], т.е. 4 деца .