Имаме четириъгълник които е 2мм*3мм Всеки ден,става по голям

[iCantPlayPudge]

имаме четириъгълник които е 2мм*3мм
Всеки ден,става по голям: новата му шурочина е бившата му дължина, и новата му дължина е равна на сумата на бившата му дължина и широчина.
След колко дни този четериъгълник ще има повърхност 1,5м^2

[Knowledge Greedy]

числата на Фибоначи и правоъгълника.PNG (2.89 KiB) Прегледано 159 пъти

В условието подразбираме, че историята е за правоъгълник, който всеки ден увеличавал размерите си.
Веднага се набива на очи, че това са числата на Фибоначи от третото -нататък.
Наистина, ако с [tex]a_{n}[/tex] означим дължината на правоъгълника през деня с номер [tex]n[/tex], а с [tex]b_{n}[/tex]
- неговата ширина същия ден, то според условието [tex]\left |\begin{matrix}
a_{n+1}= &a_{n}+b_{n}\\
b_{n+1}= &a_{n}.
\end{matrix}\right[/tex]
Заместваме от второто в първото уравнение на системата [tex]b_{n}= a_{n-1}[/tex] и получаваме рекурентното уравнение, с което се задава редицата на Фибоначи. Ако ли от второто изразим [tex]a_{n}= b_{n+1}[/tex] и [tex]a_{n+1}= b_{n+2}[/tex], и заместим в първото, ще получим [tex]b_{n+2}= b_{n+1}+b_{n}[/tex]- същото и за редицата от ширините, като [tex]b_{1}=2,[/tex] а [tex]b_{2}=3.[/tex]
Ще използваме формулата на Бине [tex]f_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n}-\beta^{n}),[/tex] където [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са корените на характеристичното уравнение [tex]r^2-r-1=0.[/tex]
За редиците [tex]\begin{Bmatrix}
a_{n}
\end{Bmatrix}^{\infty}_{n=1}[/tex] и [tex]\begin{Bmatrix}
b_{n}
\end{Bmatrix}^{\infty}_{n=1}[/tex] общите членове ще са [tex]a_{n}=f_{n+2}[/tex] и [tex]b_{n}=f_{n+1}[/tex] .
Лицето на правоъгълника на [tex]n[/tex]-ия ден ще е [tex]a_{n}b_{n}=f_{n+2}f_{n+1}=\frac{1}{5 }(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2})(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})[/tex]. Приравняваме на 1,5 кв.м изразени в кв. мм. и получаваме
[tex]\alpha^{2n+3}+\beta^{2n+3}+2.(-1)^{n}=7500000.[/tex]
Като вземем предвид, че [tex]\beta = \frac{1}{ \alpha }[/tex], с полагане стигаме до квадратно уравнение и остава само едно логаритмуване, за да получим крайния резултат.