Няколко алгебрични задачи.

[HellBot]

1. Опростете израза (a²+2)²-(a-2)(a+2_(a²+4) и намерете стойността му при a=-1/2

2. Докажете че стойността на израза (2x+5)²-4(x+1)(x+3)-4(x+2,1/2) [това е две цяло и една втора] не зависи от стойността на променливата x

3.Докажете тъждеството:
а) (m-n)²-(m+n)²-2(m+n)=-2(m+2mn+n)
б) (a-1)³-(a+2)(a²-2a+4=3(-a²+a-3)

[mail_dinko]

1. Опростете израза и намерете стойността му при [tex]a= - \frac {1}{2}[/tex].
[tex](a^2+2)^2-(a-2)(a+2)-(a^2+4)=[/tex]
[tex]=a^4+4a^2+4-(a^2-4)-a^2-4=[/tex]
[tex]=a^4+4a^2+4-a^2+4-a^2-4=[/tex]
[tex]=a^4+2a^2+4[/tex]
Заместваме
[tex](- \frac {1}{2})^4+2.(- \frac {1}{2})^2+4=[/tex]
[tex]= \frac {1}{16}+2. \frac {1}{4}+4=[/tex]
[tex]=\frac{1}{ 16}+\frac{8}{16 } + \frac{64}{16 } =[/tex]
[tex]=\frac{73}{16 }[/tex]

2. Докажете че стойността на израза не зависи от стойността на променливата [tex]x[/tex].
[tex](2x+5)^2-4(x+1)(x+3)-4(x+2 \frac {1}{2})=[/tex]
[tex]=4x^2+20x+25-4(x^2+3x+x+3)-4(x+ \fra {5}{2})=[/tex]
[tex]=4x^2+20x+25-4x^2-12x-4x-12-4x-10=[/tex]
тука много се унищожават, накрая остава
[tex]=25-12-10=3[/tex]

3.Докажете тъждеството:
а)
[tex](m-n)^2-(m+n)^2-2(m+n)=-2(m+2mn+n)[/tex]
Вземаме само лявата част и работим с нея
[tex]m^2-2mn+n^2-(m^2+2mn+n^2)-2m-2n=[/tex]
[tex]m^2-2mn+n^2-m^2-2mn-n^2-2m-2n=[/tex]
унищожаваме
[tex]=-4mn-2m-2n=[/tex]
[tex]=-2m-4mn-2n[/tex]
[tex]=-2(m+2mn+n)=[/tex]
Получихме дясната част. От това следва, че равенството е тъждество

б)
[tex](a-1)^3-(a+2)(a^2-2a+4)=3(-a^2+a-3)[/tex]
Отново вземаме лявата част
[tex](a-1)^3-(a+2)(a^2-2a+4)=[/tex]
[tex]=a^3-3a^2+3a-1-(a^3-2a^2+4a+2a^2-4a+8)=[/tex]
[tex]=a^3-3a^2+3a-1-a^3+2a^2-4a-2a^2+4a-8=[/tex]
Унищожаваме
[tex]=-3a^2+3a-9=[/tex]
[tex]=3(-a^2+a-3)[/tex]
Получихме дясната част. От това следва, че равенството е тъждество