Еквивалентни уравнения.

[jel4eto]

Може ли някой да ми обясни как се решава?
За коя стойност на параметъра a са еквивалентни уравнения?
4x+3 върху 4 =3x-4 върху 8 и 2ax+1=x+a

[Xixibg]

Еквивалентни уравнения са тези ,който имат едни и съши решения или ,който нямат решения:

[tex]\frac{4x+3}{4}=\frac{3x-4}{8} ; =>8x+6=3x-4 ; =>5x=-10 ; =>x=-2[/tex]
[tex]2ax+1=x+a[/tex]
[tex]=>x(2a-1)=a-1[/tex]
1.[tex]2a-1=0 ; =>a=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]=>0.x=-\frac{1}{2} n.r.[/tex]
2.[tex]2a-1\ne 0 ; =>a\ne \frac{1}{2}[/tex]
[tex]=>x=\frac{a-1}{2a-1}[/tex]
Заместваме [tex]x=-2[/tex]
[tex]=>\frac{a-1}{2a-1}=-2[/tex]
[tex]=>a-1=-4a+2[/tex]
[tex]=>5a=3[/tex]
[tex]=>a=\frac{3}{5}[/tex]

[jel4eto]

Благодаря.

[s.karakoleva]

Еквивалентни уравнения са тези ,който имат едни и съши решения или ,който нямат решения:

Тази дефиниция не е съвсем точна! Еквивалентни уравнения са такива уравнения, които имат едно и също множество от допустими стойности и едно и също множество от решения.

[Xixibg]

Еквивалентни уравнения са тези ,който имат едни и съши решения или ,който нямат решения:

Тази дефиниция не е съвсем точна! Еквивалентни уравнения са такива уравнения, които имат едно и също множество от допустими стойности и едно и също множество от решения.

Тази дефиниция е от учебника по математика за 7 клас и относно точността и се обърнете към "Инспектората при МОНТ"

[ganka simeonova]

Еквивалентни уравнения са тези ,който имат едни и съши решения или ,който нямат решения:

Тази дефиниция не е съвсем точна! Еквивалентни уравнения са такива уравнения, които имат едно и също множество от допустими стойности и едно и също множество от решения.

Едно и също множество от ДС????
Не! Трябва всичките решения на едното у-е да са решения на второто и обратно..
Пр: [tex]\frac{3-x}{ x+2} =0; x-3=0[/tex]- еквивалентни ли са?

[s.karakoleva]

Две уравнения са тъждествени, ако имат едно и също дефиниционно множество и едни и същи корени.

Цитатът е от свободната енциклопедия:
http://www.bg-free.info/?title=%D0%A3%D ... 0.B8.D1.8F

Още един цитат от "Математический энциклопедический словарь"- ред. Прохоров, 1988: на стр. 603 в темата "Уравнение", в превод от руски завучи така:

Две системи уравнения (или две уравнения) се наричат равносилни, ако всяко решение на едната система (у-е) е решение и на другата система (у-е) и обратно, при което и двете системи (уравнения) се разглеждат в една и съща област.

Като пример ще посоча задача, дадена на кандидатстудентски изпит в РУ "А. Кънчев" на 13.07.2000 г.

Зад 2: Еквивалентни ли са уравненията
[tex]\frac{x^2+6}{4-x^2}=\frac{5x}{x^2-4}[/tex] и [tex]x^2+5x+6=0[/tex]
Отговор: Не, защото първото има ДС: [tex]x\neq \pm 2[/tex], а второто: [tex]x\in \cal{R}[/tex]

Истината е, че в учебниците, утвърждавни от МОМН, стои грешна дефиниция за еквивалентни (равносилни) уравнения, което означава, че и учениците не знаят истинската дефиниция. Затова на горната задача имаше 1 % верни отговори.

И за Вашата задача е същото: Уравненията не са еквивалентни (равносилни), защото ДС за първото у-е [tex]x\neq -2[/tex], а за второто [tex]x\in \cal{R}[/tex], т.е. двете у-я нямат едно и също множество от ДС.

Следователно, двете условия са необходими и достатъчни: (1) едно и също множество от ДС и (2) едно и също множество от решения.

Нарушено (2) се открива по-лесно от учениците. Например [tex]x=1[/tex] и [tex]x^2=1[/tex] не са еквивалентни, защото множеството от решения за 1-то е [tex]\{1\}[/tex], а за второто: [tex]\{-1, 1\}[/tex].

[Xixibg]

................
Зад 2: Еквивалентни ли са уравненията
[tex]\frac{x^2+6}{4-x^2}=\frac{5x}{x^2-4}[/tex] и [tex]x^2+5x+6=0[/tex]
Отговор: Не, защото първото има ДС: [tex]x\neq \pm 2[/tex], а второто: [tex]x\in \cal{R}[/tex]

Не са еквивалентни защото 1-вото има едно решение [tex]x=-3[/tex] , а второто има две решения [tex]x_1=-2 ; x_2=-3[/tex] , което противоречи на правилото за еднакви решения.

Престанете да обърквате и без това обърканите ученици....
Когато помагате на ученик ,се съобразявайте с това ,което е одобрено от МОНТ без значение дали е точно или не.

[amsara]

Две уравнения са тъждествени, ако имат едно и също дефиниционно множество и едни и същи корени.

Цитатът е от свободната енциклопедия:
http://www.bg-free.info/?title=%D0%A3%D ... 0.B8.D1.8F

Още един цитат от "Математический энциклопедический словарь"- ред. Прохоров, 1988: на стр. 603 в темата "Уравнение", в превод от руски завучи така:

Две системи уравнения (или две уравнения) се наричат равносилни, ако всяко решение на едната система (у-е) е решение и на другата система (у-е) и обратно, при което и двете системи (уравнения) се разглеждат в една и съща област.

Като пример ще посоча задача, дадена на кандидатстудентски изпит в РУ "А. Кънчев" на 13.07.2000 г.

Зад 2: Еквивалентни ли са уравненията
[tex]\frac{x^2+6}{4-x^2}=\frac{5x}{x^2-4}[/tex] и [tex]x^2+5x+6=0[/tex]
Отговор: Не, защото първото има ДС: [tex]x\neq \pm 2[/tex], а второто: [tex]x\in \cal{R}[/tex]

Истината е, че в учебниците, утвърждавни от МОМН, стои грешна дефиниция за еквивалентни (равносилни) уравнения, което означава, че и учениците не знаят истинската дефиниция. Затова на горната задача имаше 1 % верни отговори.

Ами проблемът за болднатото си е техен.Какъв 1 %, всеки що годе справящ се с математиката деветокласник в нормално училище с математика ЗП решава такава задача без проблем.Такава подобна имахме на класното първия срок.
1. Решава си човек квадратното и получава корени -2 и -3.
2. Отива на дробното. Изкарва един минус вляво пред дробната черта и така в двата знаменателя получава една и съща формула за съкратено.От 5 клас знае, че знаменателят не може да е 0. Веднага изкарва,че уравнението има решение, ако х≠±2.
3.Решава дробното, получава два корена и те са x1=-2 , x2=-3.Единият обаче е от наложеното горе ограничение заради знаменателя и отпада.Дробното остава с един корен.
4. Извод - не са еквивалентни. Едното е с един корен, другото с два. И без да знае формулировки за еквивалентност от тук и от там,пак се оправя с лекота. Само да помисли е достатъчно.


Истината е, че дори в учебника за 9 клас на Анубис по ЗП , който иначе е някаква пълна смешка като обем и съдържание, има предостатъчно такива задачКи. И това, че само 1 % кандидат студенти са я решили, е направо смешно. По-скоро тъжно.

[ganka simeonova]

Пр: [tex]\frac{3-x}{ x+2} =0; x-3=0[/tex]- еквивалентни ли са?

Г-жа Караколева изписа много, но не отговори на моя въпрос. Еквивалентни ли са двете у-я?

[s.karakoleva]

Г-жа Караколева изписа много, но не отговори на моя въпрос. Еквивалентни ли са двете у-я?

Не сте чели внимателно. Отговорила съм.

Задачата, която вероятно цитирате, има условие "Да се реши уравнението" а не "Еквивалентни ли са двете уравнения?"

При решаване на уравнения не се използват само еквивалентни операции и не се стига винаги до еквивалентни уравнения. Най-прост пример за това е повдигането на квадрат на двете страни на уравнение, което не води до еквивалентно уравнение. При решаване на Вашата задача с условие "Да се реши", се използва това, че за да е нула дробта, трябва да е нула числителят. Но същата задача с условие "Еквивалентни ли са...?" има отговор НЕ.

А по отношение на дефиницията, няма какво да спорим. Цитирах ви и източници, могат да се намерят и още много.
Това, че учениците (а и не само те) търсят корените на две уравнения, за които е очевидно, че не са еквивалентни, е явно загуба на време и енергия. А ако е дадена задача с въпрос "Еквивалентни ли са уравненията:"
[tex]\frac{x-\mathrm{tg}\, x}{x-1}=0[/tex] и [tex]x-\mathrm{tg}\, x=0[/tex],
пак ли ще търсите решенията на [tex]x-\mathrm{tg}\, x=0[/tex]? Те са безброй много и намирането им ще отнеме доста време.

[ganka simeonova]

Не, просто ще установя, че х=1 не е корен нито на едното, нито на другото. Тогава и двете имат едни и същи корени. Тогава множеството от корените им е едно и също.

[s.karakoleva]

Не, просто ще установя, че х=1 не е корен нито на едното, нито на другото. Тогава и двете имат едни и същи корени. Тогава множеството от корените им е едно и също.

И какво ще следва от това? Еквивалентни ли са, или не?

[ganka simeonova]

За мен, да. Щом у-та имат едни и същи корени, са еквивалентни.
Интересно, какво означава корен на у-е? Онова число, което превръща равенството във вярно числово равенство.

[Гост]

Ето какво пише в "Математическая енциклопедия": Равносилност на две уравнения, неравенства, системи означава да съвпадат решенията им. Редактор е академ Виноградов.
Така че, госпожо Караколева, никак ама никак не сте права.
За справка "Математическая енциклопедия" т. 4, стр. 800. Дано в това РУ я имат поне в библиотеката, един от едно СУ.

[ganka simeonova]

Един от СУ, ти знаеш кой си, ....10х:)

[s.karakoleva]

Да, вече разбирам защо учениците (а и не само те) са объркани. Това, което Ви цитирах по-горе:

От свободната енциклопедия:
http://www.bg-free.info/?title=%D0%A3%D ... 0.B8.D1.8F

И цитата от "Математический энциклопедический словарь"- ред. Прохоров, 1988: на стр. 603 в темата "Уравнение", в превод от руски завучи така:

Две системи уравнения (или две уравнения) се наричат равносилни, ако всяко решение на едната система (у-е) е решение и на другата система (у-е) и обратно, при което и двете системи (уравнения) се разглеждат в една и съща област.

са абсолютно верни факти, но явно не сте отворили линка или енциклопедията. Вярно е, че на много места в литературата, както и в учебниците, дефиницията не е пълна. Затова Гостът е намерил друга дефиниция. Попитайте истински математици, или потърсете в дебелите книги.

Но това се учи и в Университета! Уравнението, което се получава, когато решавате уравнение
[tex]\frac{f(x)}{g(x)}=0 \Rightarrow f(x)=0[/tex] не е еквивалентно на даденото, а е УРАВНЕНИЕ-СЛЕДСТВИЕ на даденото. Затова и знакът между тях не е [tex]\Leftrightarrow[/tex], а [tex]\Rightarrow[/tex]
Това е така, не защото аз го казвам, а защото това са основни неща в Математиката и е странно, че твърдите че двете уравнения са еквивалентни.

А за уравнението
[tex]\frac{x-\mathrm{tg}\, x}{x}=0[/tex] и [tex]x-\mathrm{tg}\, x=0[/tex],
какво ще кажете? Сякаш няма да върви този метод:

Не, просто ще установя, че х=1 не е корен нито на едното, нито на другото. Тогава и двете имат едни и същи корени. Тогава множеството от корените им е едно и също.

Тук се оказва, че нулата е решение на второто, но не е решение на първото уравнение. Откъдето ще следва пък, че уравненията не са еквивалентни. Е, какво значение има, че в знаменателя има [tex]x[/tex] вместо [tex]x-1[/tex]?

Просто логиката не е такава. Всичко идва от грешно разбиране на дефиницията (по-точно от грешната дефиниция), която се изучава и която сте приели за вярна.

В спора се ражда истината, казват.

[ganka simeonova]

Г-жо Караколева,
1)Гостът е преподавател по математика във фМИ
2) По последния ви пример- не са еквивалентни, защото х=0 не е решение на първото у-е.
3) Знаменателят оказва влияние в/у корените

[ganka simeonova]

Ще го обясня простичко:
1)У-та [tex]\frac{x-2}{ x+3} =0; x-2=0[/tex] са еквивалентни, независимо от различните си ДО, защото имат едни и същи корени.
2)У-та [tex]\frac{x^2-4}{ x-2}=0; x^2-4=0[/tex] не са еквивалентни, защото единият корен на второто не е корен на първото.
От 1) Две у-я могат да имат едни и същи корени, независимо от ДО.

[Xixibg]

Г-жо Караколева,
Няколко математика вече Ви казаха ,че не сте права.Колко още искате да Ви го кажат?

[ganka simeonova]

Две системи уравнения (или две уравнения) се наричат равносилни, ако всяко решение на едната система (у-е) е решение и на другата система (у-е) и обратно, при което и двете системи (уравнения) се разглеждат в една и съща област.

Ахааааа, в една и съща ДО:)))Това не значи, че ги разглеждаме в онази ДО, която е по-разширена, нали?
А е логиочно да ги разглеждаме в сечението на двете ДО,което ще е обща ДО. Т.е., моите доводи са правилни!

[mkmarinov]

А ако е дадена задача с въпрос "Еквивалентни ли са уравненията:"
[tex]\frac{x-\mathrm{tg}\, x}{x-1}=0[/tex] и [tex]x-\mathrm{tg}\, x=0[/tex],
пак ли ще търсите решенията на [tex]x-\mathrm{tg}\, x=0[/tex]? Те са безброй много и намирането им ще отнеме доста време.

Нека се уверя, че не разбирам погрешно: можем да определим равенството на две множества единствено ако са крайни.

[inveidar]

Вярното определение е: Две уравнения са равносилни в ОБЩАТА им(сечението) дефиниционна област, когато корените на едното са корени и на другото или и двете нямат корени. Що се карате? Не може да говорим за равносилност на уравнения извън общата им дефиниционна област!
Г-жа Караколева отново се е оплела в превода! Не може да се прави извод за две уравнения, че не са равносилни, ако ДМ - то на едното не съвпада с ДМ-то на другото! Това изобщо не е аргумент.
Можем да зададем и въпрос дали две уравнения са равносилни в някакво по-тясно от общото им ДМ множество.

[ganka simeonova]

Вярното определение е: Две уравнения са равносилни в ОБЩАТА им(сечението) дефиниционна област, когато корените на едното са корени и на другото или и двете нямат корени. Що се карате? Не може да говорим за равносилност на уравнения извън общата им дефиниционна област!
Г-жа Караколева отново се е оплела в превода! Не може да се прави извод за две уравнения, че не са равносилни, ако ДМ - то на едното не съвпада с ДМ-то на другото! Това изобщо не е аргумент.
Можем да зададем и въпрос дали две уравнения са равносилни в някакво по-тясно от общото им ДМ множество.

Точно това се опитах да и обясня с последния си пост

[Гост]

Еквивалентни ли са уравненията и ако да , защо:
a)(x-3)²-x=x² и x²-6x+9-x=x²
б)3y-7y+4=3 и 3y-7y=3-4
в)6-4(x+10)=2 и 3-2(x+10)=1
г)8x-2(2x-6)=4 и 2x-(x-3)=1
д)t-3(t+2)=5t и 7t=-6
e)(x-3)(x+3)=0 и |x|=3

Ако,може някой да ми ги реши ще съм му много благодарен ! Благодаря !