Равнобедрен триъгълник.Равностранен триъгълник

[dari19991507]

Здравейте, затрудняват ме 3 задачи:
1.Даден е равностранен триъгълник ABC.Върху страната му AB са взети точките M и N така,че AM=BN.Да се намерят ъглите на триъгълник MNC,ако правата CM дели ъгъл ACN в отношение 1:2
2.Даден е равностранен триъгълник ABC.Върху правата AB са взети точките M и N така,че MA=AB=BN
а)Намерете ъглите на триъгълник MNC.
б)Ако MN=18см намерете периметъра на триъгълник ABC.
3.Даден е равнобедрен триъгълник ABC.Върху бедрата CA и CB са взети съответно точки M и N така,че CM=CN.Ако AN пресича BM=P,докажете,че триъгълник ABP е равнобедрен.

Много благодаря!

[Xixibg]

[tex]1.[/tex] Нека [tex]\angle ACM=\alpha[/tex]
[tex]\triangle ACM,\triangle BCN[/tex] са еднакви по 1-ви признак.
[tex]1.\angle ABC=\angle BAC = 60^\circ (\triangle ABC[/tex] е равностранен[tex])[/tex]
[tex]2.AC=BC(\triangle ABC[/tex] е равностранен[tex])[/tex]
[tex]3.AM=BN[/tex](по условие)
[tex]=>\angle ACM=\angle BCN=\alpha ;CM=CN[/tex] като СЕЕТ(съответни елементи в еднакви триъгълници)
1-случай:[tex]\angle ACM:\angle MCN=1:2 ; =>\angle ACB=\alpha +2\alpha +\alpha =4\alpha =60^\circ ; =>\alpha =15^\circ[/tex]
[tex]=>MCN=2\alpha = 30^\circ ; =>\angle CMN=\angle CNM=\frac{180^\circ -30^\circ }{2}=75^\circ (\triangle CMN[/tex] е [/tex]равнобедрен ([tex]CM=CN)[/tex]
2-случай:[tex]\angle ACM:\angle MCN=2:1 ; =>\angle ACB=\alpha +\frac{1}{2}\alpha +\alpha =\frac{5}{2}\alpha =60^\circ ; =>\alpha =24^\circ[/tex]
[tex]=>MCN=\frac{1}{2}\alpha = 12^\circ ; =>\angle CMN=\angle CNM=\frac{180^\circ -12^\circ }{2}=84^\circ (\triangle CMN[/tex] е [/tex]равнобедрен ([tex]CM=CN)[/tex]

[Xixibg]

[tex]2.[/tex] Нека [tex]\angle ACM=\alpha[/tex]
[tex]\triangle ACM,\triangle BCN[/tex] са еднакви по 1-ви признак.
[tex]1.\angle NBC=\angle MAC = 120^\circ (\triangle ABC[/tex] е равностранен[tex],\angle NBC,\angle MAC[/tex] външни[tex])[/tex]
[tex]2.AC=BC(\triangle ABC[/tex] е равностранен[tex])[/tex]
[tex]3.AM=BN[/tex](по условие)
[tex]=>\angle ACM=\angle BCN=\alpha ;CM=CN[/tex] като СЕЕТ(съответни елементи в еднакви триъгълници)
[tex]\triangle ABC,\triangle ABC[/tex] са равнобедрени [tex](AM=AC=BN=BC)[/tex]
[tex]=>\alpha =\angle MAC= \angle MCA=\angle NBC=\angle NCB=\frac{180^\circ -120^\circ }{2}=30^\circ[/tex]
[tex]=>\angle MCN=60+2\alpha =60^\circ +60^\circ =120^\circ[/tex]

[Xixibg]

[tex]3.[/tex] Нека [tex]\angle CAN=\alpha[/tex]
[tex]\triangle ACN,\triangle BCM[/tex] са еднакви по 1-ви признак.
[tex]1.\angle ACB[/tex] е общ
[tex]2.AC=BC(\triangle ABC[/tex] е равнобедрен[tex])[/tex]
[tex]3.MC=CN[/tex](по условие)
[tex]=>\angle CAN=\angle MBC=\alpha ;BM=AN[/tex] като СЕЕТ(съответни елементи в еднакви триъгълници)
[tex]=>\angle NAB=\angle CAB-\alpha =\angle CBA-\alpha =\angle MBA[/tex]
[tex]=>\triangle ABP[/tex]е равнобедрен

[dari19991507]

Страшно много Ви благодаря!

[Georgi-Nikolov-M]

Имам въпрос,относно втората задача.Нещо не можах да се ориентирам какво точно да е построението.Точките N и M не трябва ли да са в/у AB,но пък така не е възможно MA=AB=BN...
Ако някой само може да ми обясни къде точно стоят тези точки(M,N) и как се получава построението,защото чета тук условието и решението как е,но нещо не ми се получава и стигнах до заключението,че чертежа ми е грешен.Как трябва да е,моля ви,някой да го снима или по някакъв друг начин.Ще съм много благодарен

[Xixibg]

[tex]M[/tex] е в ляво от [tex]A[/tex] , а [tex]N[/tex] е в дясно от [tex]B[/tex].
Или така да се каже [tex]A[/tex] е между [tex]M[/tex] и [tex]B[/tex].
[tex]B[/tex] е между [tex]A[/tex] и [tex]N[/tex]