АВС равнобедрен ?

[koncara]

В триъгълник АВС точките М и N лежат върху страните АС и ВС и са такива, че периметрите на триъгълниците ABM, ABN са равни и периметрите на триъгълниците ВСМ и ACN също са равни. Докажете, че триъгълникът АВС е равнобедрен?

[amsara]

В триъгълник АВС точките М и N лежат върху страните АС и ВС и са такива, че периметрите на триъгълниците ABM, ABN са равни и периметрите на триъгълниците ВСМ и ACN също са равни. Докажете, че триъгълникът АВС е равнобедрен?

[tex]AB=a, BN=x, AM=y, MC=m, NC=n, AN=p, BM=q[/tex]
[tex]P_{ABN}=a+x+p[/tex]
[tex]P_{ABM}= a +q +y[/tex]
[tex]a+x+p=a+q+y <=> x+p=q+y[/tex] (1)
[tex]P_{ANC} =p+n+m+y[/tex]
[tex]P_{BMC} =q+m+n+x[/tex]
[tex]p+m+n+y = q+m+n +x <=> p+y=q+x[/tex] (2)
Изваждаме почленно 1 и 2.
[tex]x+p-p-y=q+y-q-x <=> x-y=y-x <=> 2x=2y <=> x=y[/tex]
[tex]=> p=q[/tex]
Разглеждаме триъгълници [tex]ABM , BAN[/tex]
[tex]1). AB=AB[/tex]обща страна
[tex]2). AM=BN=x=y[/tex]
[tex]3). AN=BM=p=q[/tex]
=>[tex]\Delta ABM ednakyv \Delta BAN[/tex]
[tex]=>\angle MAB = \angle NBA[/tex]
=>[tex]\Delta ABC[/tex] е равнобедрен

[koncara]

Всичко разбрах, освен действието събираме почленно. Не разбрах нито как става, нито защо го правим, нито как се прави...?!! Благодаря ти Амсара. Много си мила, че реши задачката

[amsara]

Събираме или изваждаме почленно означава следното:
Имаш две равенства , например:
7x +5y=17
8x +5y =18

Принципно това се води материал от методи за решаване на системи уравнения в 8 клас, но истината е, че се ползва и в 7ми , особено при доказване на задачи от неравенства в триъгълника, които ще вземете втория срок.

Виждаш, че и в първото, и във второто имаш 5х. Ако ги извадим едно от друго, точно тези два едночлена ще се унищожат.Как става? От лявата страна на първото равенство вадиш съответно лявата на второто. Поставяш знака равно, след което правиш същото и със страните вдясно. Вадиш от дясната страна на първото дясната на второто.Какво получаваш?

7x+5y -(8x+5y) = 17 - 18
7x+5y-8x-5y=-1
-x=-1
x=1

Това е, което аз съм направила в конкретната задача, ползвала съм почленно изваждане.
В други пък се налага ползване на почленно събиране, като принципът е същият и отново се цели унищожаване.Например:

6x+4y =36
13x -4y = 40

6x+4y+13x-4y=76
19x=76
x=4

И това е. Дано да съм го обяснила разбираемо.

[koncara]

Разбрах как става, за което съм много благодарен. Но ако не съм достатъчно нахален, може ли да обясниш какво общо има това с периметрите. Две двойки триъгълници имат еднакви периметри. С това доказваме еднаквоста ли .. или ???

[amsara]

Дадени са ти две двойки триъгълници с равни периметри. Пишеш си двете уравнения. Почленното изваждане ти помага да докажеш равенство на страни. А получените равни страни, заедно с една обща, ти помагат по 3 признак да докажеш еднаквост на 2 триъгълника.В тях ъглите при основата са равни като съответни елементи.Тогава по теорема значи, че АВС е равнобедрен.

[koncara]

Благодаря. Ще я пререша и ще осмисля решението на задчката, и смисъла на почленното събиране.