Геометрия задачи

[Boni]

Височините CH и BK в остроъгълния триъгълник ABC пресичат в точка О.
А)Ако ОС = АВ, да се намери <АСВ.
Б)Ако ВК = СК, да се докаже , че ОС = АВ
в)Ако ОС=АВ, да се намерят ъглите на триъгълника АОК и да с докаже че ОА е перпендикулярна на ВС.

2.
Даден е правоъгълен триъгълник АВС с прав ъгъл при върха С и <ВАС = 30 градуса.Върху продължението на катета ВС след точка В е нанесена отсечка ВM = AB.Ако СD е височина в триъглъник АMC към страната АM и P е пресечната точна на CD и AB , докажете че , триъгълник СРВ е равностранен и CP e медиана в триъгълник АВС.
3.
Един от ъглите на правоъгълния триъгълник АВС е 60 градуса.Намерете отсечките на които ъглополовящата на този дели срещуположната страна, ако тя е 21 см.

[Xixibg]

1.а)[tex]\angle BAC=\alpha[/tex]
[tex]\triangle ABK,\triangle KOC[/tex] са еднакви по 2 - ри признак
[tex]1.CO=AB ; 2.\angle AKO=\angle OKC=90^\circ l 3.\angle ABK=\angle KCO=90^\circ -\alpha[/tex]
[tex]BK=KC[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle BKC[/tex] е равнобедрен правоъгълен [tex]=>\angle ACB=45^\circ[/tex]
б)[tex]\triangle ABK,\triangle KOC[/tex] са еднакви по 2 - ри признак
[tex]1.CK=KB ; 2.\angle AKO=\angle OKC=90^\circ l 3.\angle ABK=\angle KCO=90^\circ -\alpha[/tex]
[tex]AB=OC[/tex] като СЕЕТ
в)[tex]\angle BAC=\alpha[/tex]
[tex]\triangle ABK,\triangle KOC[/tex] са еднакви по 2 - ри признак
[tex]1.CO=AB ; 2.\angle AKO=\angle OKC=90^\circ l 3.\angle ABK=\angle KCO=90^\circ -\alpha[/tex]
[tex]AK=OK[/tex] като СЕЕТ
[tex]\triangle AKO[/tex] е равнобедрен правоъгълен [tex]=>\angle KAO=\angle AOK=45^\circ ;\angle AKO=90^\circ[/tex]
[tex]AO\cap BC=P ;=>\angle BOP=\angle AOK=45^\circ[/tex] като връхни
[tex]\angle OBC=45^\circ[/tex] по доказателство [tex]=> \angle OPB=180^\circ -(45^\circ +45^\circ )=90^\circ[/tex]

[Xixibg]

2.[tex]\angle ABM=180^\circ -60^\circ =120^\circ[/tex] като съседни
[tex]\triangle AMB ;AB=MB[/tex] е равнобедрен
[tex]=>\angle AMB=\angle MAB=\frac{180^\circ -120^\circ }{2}=30^\circ[/tex]
[tex]=>\angle ACD=180^\circ -(90^\circ +30^\circ )=60^\circ[/tex]
[tex]=>\triangle BPC[/tex] е равностранен
[tex]=>\angle PCA=90^\circ -60^\circ =30^\circ[/tex]
[tex]=>\triangle APC[/tex] е равнобедрен[tex](AP=CP)[/tex]
[tex]CP=BP ;=>AP=BP[/tex]

[Xixibg]

Нека [tex]\angle ABC=60^\circ ;AC=21sm.;L\in AC ; BL[/tex] е ъглополовяща
[tex]\angle ABL=\angle CBL=\frac{60^\circ }{2}=30^\circ[/tex]
[tex]\anglBAC=180^\circ -(90^\circ +60^\circ )=30^\circ[/tex]
[tex]=>\triangle ABL[/tex]е равнобедрен [tex]=>AL=BL=2x[/tex]
[tex]CL=\frac{BL}{2}=x[/tex] като катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник
[tex]=>ACCL+AL=2x+x=3x=21 ; =>x=7 ;=>CL=7sm. ;AL=14sm.[/tex]