3 задачи по геометрия

[Boni]

1.Даден е триъгълник ABC в които <С =90 градуса и <ВАС =60 градуса.СD е височина към хипотенузата .Ъглополовящата AL на <ВАС пресича СD в точка M.
A)Докажете че CM = 2.MD
Б)Докажете че AL = LB
В)Докажете че триъгълник MLC е равностранен

2.Ъглополовящата на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник пресича катет под ъгъл , който е равен на един от ъглите на триъгълника.Намерете острите ъгли на триъгълника

3.Върху едното рамо на ъгъл с връх О са взети точките А и В , а върху другото С и D така, че АО=ОС и ОВ=ОD.Докажете, че правите AD и BC се пресичат върху ъглополовящата на ъгъла

[ammornil]

1.Даден е триъгълник ABC в които <С =90 градуса и <ВАС =60 градуса.СD е височина към хипотенузата .Ъглополовящата AL на <ВАС пресича СD в точка M.
A)Докажете че CM = 2.MD
Б)Докажете че AL = LB
В)Докажете че триъгълник MLC е равностранен
===---------
a) Построяваме AP, точка [tex]P \in AB[/tex] и [tex]AP=AC[/tex]. Нека [tex]CP \cap AL = Q[/tex].
[tex]\triangle APC, AP=AC \\ \angle CAP= 60^\circ[/tex], следва че триъгълникът е равнобедрен с ъгъл между бедрата 60 градуса, следователно този триъгълник е равностранен. Следователно [tex]CD[/tex] e височина, медиана и ъглополовяща. [tex]AQ[/tex] е ъглополовяща, следователно и височина, и медиана. Оттук следва, че точка М е медицентър в [tex]\triangle APC[/tex]. Свойство на медицентъра е да разделя медианите в отношение 2:1 считано от върха към петата.
[tex]\frac{CM}{MD}=\frac{2}{1} \Longrightarrow CM=2.MD[/tex]
===---
б) [tex]\angle LAB= \frac{1}{2}. \angle CAB= 30^\circ[/tex]
Понеже АВС е правоъгълен и ъгъл А е 60 градуса, следва че ъгъл В е 30 градуса.
Разглеждаме [tex]\triangle ALB \Right \angle LAB= \angle LBA= 30^\circ \Longrightarrow AL=LB[/tex]
===---
в)[tex]\angle ACD=90^\circ - \angle CAD=30^\circ[/tex]
[tex]\angle DCB=90^\circ - \angle ACD=60^\circ[/tex]
[tex]\angle DCB=60^\circ[/tex] (условие 1)

[tex]\angle MAD= \frac{1}{2}. \angle CAD=3030^\circ[/tex]
[tex]\angle AMD=90^\circ - \angle ACD=60^\circ[/tex]
[tex]\angle CML=\angle AMD=60^\circ[/tex] (връхни ъгли)
[tex]\angle CML=60^\circ[/tex] (условие 2)

Разглеждаме [tex]\triangle CLM, \angle DCB=60^\circ \\ \angle CML=60^\circ \Rightarrow \angle CLM=60^\circ[/tex] следователно [tex]\triangle CLM[/tex] е равностранен.

[ammornil]

2.Ъглополовящата на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник пресича катет под ъгъл , който е равен на един от ъглите на триъгълника.Намерете острите ъгли на триъгълника
===---------------------
Триъгълник АВС е произволен правоъгълен триъгълник. Нека [tex]\angle CAB= \alpha[/tex], тогава [tex]\angle CBA=90^\circ- \alpha[/tex].

Нека AL е ъглополовяща на ъгъл CAB. Тогава [tex]\angle CAL= \angle LAB= \frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]\triangle ACL[/tex] е правоъгълен, следователно [tex]\angle CLA=90^\circ- \angle CAL=90^\circ- \frac{\alpha}{2}[/tex]

1 случай) Ако [tex]\angle CLA=\angle CAB[/tex], тогава
[tex]90^\circ- \frac{\alpha}{2}=\alpha \Leftrightarrow \alpha+\frac{\alpha}{2}=90^\circ \Leftrightarrow \frac{3}{2}.\alpha=90^\circ \Leftrightarrow \alpha=\frac{2.90^\circ}{3}=60^\circ[/tex]

В този случай [tex]\angle CAB= \alpha=60^\circ[/tex] и [tex]\angle CBA=90^\circ- \alpha=30^\circ[/tex]

2 случай) Ако [tex]\angle CLA=\angle CBA[/tex], тогава
[tex]90^\circ- \frac{\alpha}{2}=90^\circ- \alpha \Leftrightarrow \alpha- \frac{\alpha}{2}=90^\circ- 90^\circ \Leftrightarrow \frac{\alpha}{2}=0 \Leftrightarrow \alpha=0[/tex] в този случай няма допустими решения.

Единствен отговор е, че острият ъгъл, чиято ъглополовяща е построена, е равен на 60 градуса, а другият остър ъгъл е 30 градуса.

[ammornil]

3.Върху едното рамо на ъгъл с връх О са взети точките А и В , а върху другото С и D така, че АО=ОС и ОВ=ОD.Докажете, че правите AD и BC се пресичат върху ъглополовящата на ъгъла
===-----------------
В началото знаем само, че АО=ОС и ОВ=ОD.
Разглеждаме [tex]\triangle AOC, OA=OC \Longrightarrow \angle OCA= \angle OAC= \frac{180^\circ- \angle AOC}{2}[/tex] (усл.1)

Разглеждаме [tex]\triangle BOD, OB=OD \Longrightarrow \angle ODB= \angle OBD= \frac{180^\circ- \angle AOC}{2}[/tex] (усл.2)

От усл.1 и усл.2 следва, че [tex]\angle OCA= \angle OAC=\angle ODB= \angle OBD \Longrightarrow AC||BD[/tex].
(това е следствие от Теорема на Талес, ако сте я учили може направо да го запишеш и да пропуснеш първите две разглеждания)

Фигурата ABDC е равнобедрен трапец, защото [tex]\begin{cases} AC||BD \\ \angle ODB= \angle OBD\end{cases}[/tex]. Нека точка L е пресечната точка на диагоналите на този трапец. Трябва да докажем, че тази точка лежи върху ъглополовящата на [tex]\angle DOB[/tex].

[tex]\triangle CBD \cong \triangle ADB \begin{cases} DB-обща \\ AB=CD \\ \angle ODB= \angle OBD \end{cases} \Rightarrow[/tex] 1ви признак за еднаквост.
[tex]\Longrightarrow AD=BC, \angle ADB= \angle CBD[/tex]

[tex]\triangle BLD[/tex] е равнобедрен, защото [tex]\angle ADB= \angle CBD \Rightarrow BL=DL[/tex]

[tex]AL=AD-DL; CL=BC-BL \Rightarrow AL=CL[/tex] като разлики от съответно равни отсечки.

[tex]\triangle CDL \cong \triangle ABL \begin{cases} CD=AB \\ CL=AL \\ DL=BL \end{cases}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 3ти признак за еднаквост. Построяваме височините LM и LN [tex]M \in AB, N \in CD[/tex]. Те са равни като съответни величини в еднакви триъгълници. Следователно точка L лежи на равни разстояния от раменете на [tex]\angle DOB[/tex], тоест тя лежи на ъглополовящата на този ъгъл.

[amsara]

ammornil, много детайлно и готино разписваш задачите, но явно не си съвсем наясно кое кога се учи. Например теоремата за отношението 2: 1, в което се делят медианите от медицентъра, считано от върха - това го учат осмокласници. Подточка а на 1 задача се решава елементарно без каквито и да е построения и само със седмокласен материал за 30° в правоъгълен ▲.
[tex]\angle BAL = \angle CAL = 30 ^\circ, \angle ACD =180 - (90+60)= 30^\circ => \Delta AMC e[/tex] равнобедрен
[tex]=>AM=CM=x, \Delta ADM[/tex] - правоъгълен с 30°
[tex]=> MD = \frac{x}{ 2} => CM=2DM[/tex]

[ammornil]

Благодаря за корекцията!