Върху страните ...

[koncara]

Върху страните АВ и АС на триъгълник АВС са дадени съотвтно точки М и N , такива, че СМ=CN и [tex]\angle[/tex] ВСМ = 2[tex]\angle[/tex] АМN . Да се докаже, че триъгъкник АВС е равнобедрен.

[amsara]

Работа с ъгли само.
[tex]CM=CN => \Delta CMN[/tex] e равнобедрен
[tex]=> \angle CNM = \angle CMN =\alpha =>\angle NCM= 180-2\alpha[/tex]
[tex]\angle AMN = \beta => \angle BCM= 2\beta => \angle ACB = 180-2a+2\beta[/tex]
[tex]\angle ANM = 180-\alpha[/tex] съседни
[tex]\Delta AMN => \angle A = 180 -\beta-(180-\alpha)=\alpha-\beta[/tex]
[tex]\angle B =180- (180-2\alpha +2\beta) - (\alpha -\beta)=2\alpha -2\beta -\alpha+\beta =\alpha-\beta[/tex]
[tex]\angle CAB=\angle CBA[/tex]
=> Триъгълник АВС е равнобедрен.