Окръжност, описана около триъгълник

[kl0tch3r]

1зад. В окр. к с център О е вписан триъгълник ABC. Ъглополовящата на ъгъл ACB пресича k в точка P.Намерете ъгъл ACB, ако четириъгълника AOBP е ромб.

2зад. Намерете ъглите на триъгълник, ако височината и медианата през един от върховете разделят ъгъла при този връх на три равни части.

[matdia]

2 задача
Нека означим с β трите равни ъгъла
▲АСМ е равнобедрен (СН е ъглополовяща и височина)
Нека АН=а, то НМ=а, МВ=2а
Прекарваме ММ1 перпендикулярна на СВ. От СМ ъглополовяща следва МН=ММ1=а
ММ1В е правоъгълен с катет=а и хипотенуза 2а ъгъл В=30°
90-β=30°+β; 2β=60°; β=30°
Ъгъл С=3β=3*30°=90°
Ъгъл А=60°

[Добромир Глухаров]

[tex]1.)[/tex] Задача

[tex]AOBP[/tex] - ромб

[tex]\Rightarrow\ BP=OB=OP=R[/tex]

[tex]\Rightarrow\ \Delta BPO[/tex] - равностранен

[tex]\Rightarrow\ \angle POB=60^\circ[/tex] - централен

[tex]\angle PCB[/tex] - вписан, опиращ се на същата дъга

[tex]\Rightarrow\ \angle PCB=\frac{1}{2}\angle POB=30^\circ[/tex]

[tex]CP[/tex] - ъглополовяща на [tex]\angle ACB\ \Rightarrow \ \angle ACB=2\angle PCB=60^\circ[/tex]