Описан четириъгълник и вписани окръжности в триъгълници

[Гост]

Върху страните АС и АВ на триъгълника АВС са взети точките В1 и С1. Отсечките ВВ1 и СС1 се пресичат в т. D. Известно е, че четириъгълникът АВ1DC1 е описан. Докажете, че а) АВ+СD=AC+BD, b) oкръжностите вписани в триъгълниците ABD и ACD се допират.

[inveidar]

vp1.png (28.29 KiB) Прегледано 211 пъти

[tex]AL=AK[/tex]
[tex]BL=BN[/tex]
[tex]CM=CK[/tex]
[tex]DM=DN[/tex]
Събираме първите три равенства и от полученото вадим четвъртото. После остава да изразим допирателните отсечки на вписаните в [tex]ADB[/tex] и [tex]ADC[/tex] окръжности, а именно [tex]DX[/tex] и [tex]DY[/tex] чрез страните на тези триъгълници и да образуваме тяхната разлика.