Една задача за триъгълник

[Pipilota]

Здравейте! Моля Ви за помощ за следната задача:

Да се докаже, че ако в един триъгълник две от ъглополовящите са равни, то той е равнобедрен!

Благодаря предварително!

[inveidar]

Това е известната задача на Щайнер - Лемус и този, който ви я е дал за домашно в 8-ми клас трябва да е садист, или да търси гении измежду вас!!! Довечера ще ти пусна решение с материал за 8-ми клас.

[amsara]

Това е известната задача на Щайнер - Лемус и този, който ви я е дал за домашно в 8-ми клас трябва да е садист, или да търси гении измежду вас!!! Довечера ще ти пусна решение с материал за 8-ми клас.

Нито знам известната задача на Щайнер- Лемус, нито дори съм чувала за нея. Нито имам претенции да съм нещо особено,просто се справям добре по мат,не уча в МГ. Не считам, че бих определила учителката си като садистка, ако ми даде за домашно такава задача. И поне аз я реших със знания, които има всеки не осмокласник, а СЕДМОкласник.

Ще почна малко отдалече с една ,нека я наречем, ОЗ. Може и да е теорема, не знам. Имаме два триъгълника, в които имаме по две равни страни, а третата им е с различна дължина. Нека триъгълниците са ABC и MNP. Ако[tex]AC=MP; BC=NP; AB \ne MN[/tex], можем лесно да докажем, че АB >MN, ако [tex]\angle ACB > \angle MPN[/tex] и съответно обратното.Надолу ще я ползвам два пъти, а ако се налага, ще напиша и доказателството й.

Минавам към самата задача. Нека триъгълникът е ABC и равните ъглополовящи да са AL и BP.
[tex]\angle CAL = \angle BAL = \alpha ; \angle ABP= \angle CBP = \beta[/tex]
1 случай: Разглеждаме триъгълниците [tex]BAL[/tex]и [tex]ABP[/tex]. Приемаме, че [tex]\beta < \alpha =>AP<BL[/tex]
Построяваме [tex]PK || AL, PK=AL=> PKLA[/tex] е успоредник.
[tex]=> \angle PKL = \alpha[/tex]
[tex]PK=AL=PB => \Delta PKB e[/tex] равнобедрен. => [tex]\angle PKB = \angle PBK; \angle LKB=\gamma; \angle LBK=\delta[/tex]
=>[tex]\alpha + \gamma = \beta + \delta ; \delta > \gamma => LK(=AP) > BL[/tex]- противоречие.
2 случай: Разглеждаме триъгълниците [tex]BAL[/tex]и [tex]ABP[/tex]. Приемаме този път, че [tex]\alpha < \beta =>AP>BL[/tex] Аналогично стигаме до противоречие.

Остава единствен , трети вариант, при който [tex]\alpha=\beta; => 2\alpha= 2\beta ; \angle A=\angle B[/tex]
[tex]\Delta ABC[/tex] е равнобедрен.

[pipi langstrump]

Здравейте! Моля Ви за помощ за следната задача:

Да се докаже, че ако в един триъгълник две от ъглополовящите са равни, то той е равнобедрен!

Благодаря предварително!

Това не е ли малко очевидно?
Нали във всеки равнобедрен триъгълник ъглополовящите при основата са равни?
Е, ако допуснем, че има такъв неравнобедрен триъгълник, който да има две равни ъглополовящи, това ще означава, че страната, от която излизат те (AB), и да речем, страната, която й се пада отляво (AC), можем да ги ползваме за основа и бедро на равнобедрен триъгълник, който ще има за ъглополовяща една от ъглополовящите на неравнобедрения - тая, която излиза от точка А. Без ограничение на общността можем да смятаме, че ъгълът при върха А, който е общ за двата триъгълника е по-малък от ъгъла при върха В на неравнобедрения триъгълник. Тогава ъглите при основата на триъгълника, който е образуван от двете "десни" ъглополовящи и продължението на AB са [tex]\frac{\alpha }{2}[/tex] и [tex]180 - \frac{\beta }{2}[/tex] и понеже тези ъглополовящи са равни, значи и тези ъгли са равни, т.е. имаме [tex]\alpha + \beta = 360[/tex]

[pipi langstrump]

не, всъщност имам грешка, но не мога да си изтрия мнението. не става така.

[inveidar]

Амсара, ти си гениална! Е, не си толкова скромна, но какво от това?! Виж - тук и тук
Колкото и странно да ти звучи, това е една от най-коварните задачи от елементарната геометрия. Измислена е от Лемус около 1840 година и е доказана за първи път от Щайнер. До началото на двадесети век са били публикувани голям брой доказателства в кавички, докато не седнал един математик и установил, че само десетина от тях са верни!
Преди повече от тридесет години, когато бях студент, г-н Чавдар Лозанов ни я даде за домашно. Водеше ни упражненията по геометрия. Спомням си, че само аз я бях решил. Не че групата ни беше слаба. Не че и аз бях слаб де. После, след много години, разбрах, че моето доказателство повтаря едно от най-красивите доказателства, давани на тази теорема, на ученичката, а после и професорка по математика в СССР, Таня Хованова(или нещо подобно!). Лозанов не си направи и труда да ме похвали. Но така е в математиката - никога не можеш да бъдеш сигурен, че това, което си написал и открил не е вече било открито от някой преди теб.

[Гост]

Амсара, ти си гениална! Е, не си толкова скромна, но какво от това?! Виж - тук и тук
Колкото и странно да ти звучи, това е една от най-коварните задачи от елементарната геометрия. Измислена е от Лемус около 1840 година и е доказана за първи път от Щайнер. До началото на двадесети век са били публикувани голям брой доказателства в кавички, докато не седнал един математик и установил, че само десетина от тях са верни!
Преди повече от тридесет години, когато бях студент, г-н Чавдар Лозанов ни я даде за домашно. Водеше ни упражненията по геометрия. Спомням си, че само аз я бях решил. Не че групата ни беше слаба. Не че и аз бях слаб де. После, след много години, разбрах, че моето доказателство повтаря едно от най-красивите доказателства, давани на тази теорема, на ученичката, а после и професорка по математика в СССР, Таня Хованова(или нещо подобно!). Лозанов не си направи и труда да ме похвали. Но така е в математиката - никога не можеш да бъдеш сигурен, че това, което си написал и открил не е вече било открито от някой преди теб.

Сори, че отговарям без да съм си в акаунта. Мързи ме да се регна. Мерси за линковете първо. С интерес ще ги разгледам.

И второ, наистина не мислех, че е сериозна толкова задачата и затова казах, че не бих помислила, че госпожата е садистка, ако ни даде такова домашно. Не че ни е дала. И не знам защо смяташ, че съм нескромна, но както и да е.Мнението си е твое. Нима излъгах, че всичко използвано в решението се знае от седмокласниците? Не, не съм. Хитрото е само в допълнителното построение , ама то не прави никого гений. Ровя се из новия и стария форум и някъде съм срещала точно това построение, демек съм се облегнала в задачата на на нещо познато.
И нали ти даваш пример, да ти дам и аз един във връзка с гениите. Като бях 7 клас , тук научих едно супер хитро построение с допълване до равностранен триъгълник. Хареса ми и не го забравих. И взе, че му дойде времето. Веднъж в школата за подготовка в 7 клас реших една задача с него и госпожата ей така ме погледна .Да не би това да ме е направило гениална? Ползвах видяно от друг. И сега така.Само дето не знаех, че задачата е известна. Сега вече знам, благодарение на теб. Може в някой момент да я използвам и нея някъде.

[inveidar]

Не само скромна, но и притеснителна!

[amsara]

Не само скромна, но и притеснителна!

Не разбирам защо се заяждаш, наистина. Познаваш ли ме, виждал ли си ме, говорили ли сме си някога, за да ме иронизираш? Иронизираш тези, които питат лесни неща във форума. Иронизираш и тези, които имат някакъв интерес към математика. Подминава ли някого иронията ти все пак?

[Гост]

Що се дрънкате за глупости? Една задача се решава и после 90 поста в стил "лична драма, нападки, обвинения и други такива".

[inveidar]

Не разбирам защо се заяждаш, наистина. Познаваш ли ме, виждал ли си ме, говорили ли сме си някога, за да ме иронизираш?

Просто ти се възхищавам!

[inveidar]

Иронизираш тези, които питат лесни неща във форума. Иронизираш и тези, които имат някакъв интерес към математика. Подминава ли някого иронията ти все пак?

Радвам се, че следиш мненията ми, все пак!

[Гост]

....
Ще почна малко отдалече с една ,нека я наречем, ОЗ. Може и да е теорема, не знам. Имаме два триъгълника, в които имаме по две равни страни, а третата им е с различна дължина. Нека триъгълниците са ABC и MNP. Ако[tex]AC=MP; BC=NP; AB \ne MN[/tex], можем лесно да докажем, че АB >MN, ако [tex]\angle ACB > \angle MPN[/tex] и съответно обратното.Надолу ще я ползвам два пъти, а ако се налага, ще напиша и доказателството й.
...

Може ли наистина доказателството на тази основна задача? То е ясно, че е така, но как се доказва.