Задача за правоъгълник

[Гост]

Диагоналите на AC и BD в правоъг. ABCD се пресичат в т. О. През О е прекарана права, перпендикулярна на АС, която пресича страните AB и CD съответно в точките М и N. Ако ъгъл OMB = 120° и MB = 5cm,, намерете AB=?

[ammornil]

Диагоналите AC и BD в правоъг. ABCD се пресичат в т. О. През О е прекарана права, перпендикулярна на АС, която пресича страните AB и CD съответно в точките М и N. Ако ъгъл OMB = 120° и MB = 5cm,, намерете AB=?
..:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::..
Дадено:
[tex]ABCD \rightarrow \hspace{6} AB || CD, \hspace{2} AB=CD; \hspace{6} BC||AD, \hspace{2}BC=AD \\
AC \cap BD= O \\
MN \bot AC, \hspace{6} O \in MN \\
\angle OMB=120^{\circ} \\
MB=5 \hspace{2} cm[/tex]
Търсим: [tex]AB=?[/tex]
..:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::..
Нека АВ=х. Построяваме МС.
▲AMO еднакъв на ▲СМО [tex]\hspace{6} \begin{array} \angle AOM= \angle COM =90^{\circ} \\ AO=OC \\ MO \end{array} \hspace{2} \Rightarrow \hspace{2} \begin{array}AM=MC \\ \angle MAO = \angle MCO \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array} \angle NCO= \angle MAO \\ \angle MAO = \angle MCO \end{array} \hspace{6} \Rightarrow \angle NCO = \angle MCO[/tex]

▲CNO еднакъв на ▲СМО [tex]\hspace{6} \begin{array} \angle COM= \angle CON =90^{\circ} \\ \angle NCO = \angle MCO \\ CO \end{array} \hspace{2} \Rightarrow \hspace{2} \begin{array} MC=NC \\ OM=ON \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}AM=MC \\ MC=NC \end{array} \hspace{2} \Rightarrow \hspace{2} AM=NC \\
AM=AB-MB=x-5 \\
DN=AC-NC=AB-AM=x-(x-5)=5 \hspace{2} cm \\
AB=CD=DN+NC=DN+MC=5+MC \hspace{6} \rightarrow \hspace{2} (eq.1)[/tex]

[tex]\angle BMO= \angle COM= 90^{\circ} \\
\angle BMO+ \angle BCO+ \angle COM+ \angle OMC=360^{\circ} \hspace{2}\Rightarrow \\
90^{\circ}+ \angle BCO+ 90^{\circ}+ 120^{\circ}=360^{\circ} \hspace{2}\Rightarrow \hspace{2} \angle BCO=60^{\circ} \\
\Rightarrow \angle OCN= \angle NCB- \angle OCB= 90^{\circ} -60^{\circ}= 30^{\circ} \\
\Rightarrow \angle OCM= 30^{\circ} \\
\angle MCB= \angle OCB- \angle OCM= 60^{\circ} -30^{\circ}= 30^{\circ}[/tex]
▲MBC- правоъгълен, МВ- катет срещу ъгъл 30° [tex]\Rightarrow MC=2.MB=10 \hspace{2}cm[/tex]

[tex](eq1.) AB=5+MC=5+10=15 \hspace{2} cm[/tex]
..:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::..

[Xixibg]

Пробвай нещо по-лесно.Например:
[tex]\angle MOC+\angle MBC+\angle OMB+\angle OCB=360^\circ ; =>\angle OCB=360^\circ -(90^\circ +90^\circ +120^\circ )=60^\circ[/tex](Сбор от ъглите в четириъгълник е [tex]360^\circ[/tex])
[tex]OB=OC[/tex] (диагоналите в правоъгълник са равни и се разполовяват от пресечната си точка)
[tex]=>\triangle OBC[/tex] е равностранен (равнобедрен с ъгъл[tex]60^\circ[/tex])
[tex]\angle CAB=180^\circ -\angle ABC-\angle ACB=180^\circ -60^\circ -90^\circ =30^\circ[/tex]
[tex]=>AM=2OM[/tex] (Катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник)
[tex]\angle MOB=\angle MOC-\angle BOC=90^\circ -60^\circ =30^\circ[/tex]
[tex]\angle MBO=\angle MBC-\angle OBC=90^\circ -60^\circ =30^\circ[/tex]
[tex]=>\triangle OMB[/tex] е равнобедрен [tex]=>OM=MB[/tex]
[tex]=>AB=AM+MB=2OM+MB=2MB+MB=3MB=15[/tex]


A и към "ammornil" малко си оплескал ъглите в последната част на задачата....Например [tex]\angle BMO[/tex] не е [tex]90^\circ[/tex] , както си писал ,а е [tex]120^\circ[/tex] по условие.На следващият ред вместо [tex]\angle OMC[/tex] трябва да е [tex]\angle MBC[/tex]

[ammornil]

Така става като пиша без да си чета написаното. Благодаря!