Описана около триъгълник окръжност, сбор на перпендикуляри?

[lz1mak]

Здравейте,

предлагам една интересна задача:

На окръжност с диаметър AB=2R е взета произволна точка С от дъгата AB и през С е построена допирателна t към окръжността. Точките А1 и В1 са петите на перпендикулярите, спуснати от А и В към правата t. Да се докаже, че сборът АА1 + ВВ1 е постоянно число, което не зависи от избора на точката С.



Доста чертах, ако точката С съвпада с А или В, то тогава сбора е равен на АА1 + ВВ1 =АВ.

Благодаря ви

[Xixibg]

[tex]ABB_1A_1[/tex] е правоъгълен трапец (като частен случай при С среда на дъгата АВ е правоъгълник)
Нека [tex]O[/tex] е средата на [tex]AB ; CO\bot A_1B_1[/tex]
[tex]=>CO[/tex] е средна основа в трапеца [tex]=>CO=\frac{AA_1+BB_1}{2} ; =>AA_1+BB_1=2CO=2R[/tex]

[lz1mak]

[tex]ABB_1A_1[/tex] е правоъгълен трапец (като частен случай при С среда на дъгата АВ е правоъгълник)
Нека [tex]O[/tex] е средата на [tex]AB ; CO\bot A_1B_1[/tex]
[tex]=>CO[/tex] е средна основа в трапеца [tex]=>CO=\frac{AA_1+BB_1}{2} ; =>AA_1+BB_1=2CO=2R[/tex]

Xixibg,

Сърдечни благодарности за помощта,
пожелавам много успехи и весело посрещане на празниците!
Марин