Четириъгълник едновременно вписан и описан около окръжност

[lz1mak]

Здравейте, Титани на мисълта!

На вниманието ви предлагам една вероятно трудна задача.

Да се докаже, че в четириъгълник, който е едновременно вписан в окръжност и описан около друга окръжност, отсечките, които съединяват допирните точки на срещуположните страни на вписаната окръжност са взаимноперпендикулярни.

Марин

[Гост]

съединяват допирните точки на срещуположните страни на вписаната окръжност са взаимноперпендикулярни.

Може ли да го поясниш малко, че не ми става ясно...

[lz1mak]

съединяват допирните точки на срещуположните страни на вписаната окръжност са взаимноперпендикулярни.

Може ли да го поясниш малко, че не ми става ясно...

Отсечките, които съединяват допирните точки на срещуположните страни на четириъгълника с вписаната окръжност.
Благодаря

Марин

[ganka simeonova]

Щом ABCD e вписан =>[tex]\angle D=\alpha , \angle B=180^\circ -\alpha[/tex]
=>[tex]\angle PIQ=180^\circ -\alpha =\widehat {PQ}; \angle TIF=\alpha =\widehat{TF}[/tex]-тези ъгли ги разглеждаме като централни ъгли в малката окръжност.
Тогава: [tex]\angle PKQ=\frac{\widehat{PQ}+\widehat{TF}}{ 2} =90^\circ =>TQ\bot PF[/tex]- последният ъгъл е ъгъл, на който раменете пресичат малката окръжност и чийто връх е вътрешна точка за нея.Той е равен на полусбора от прилежащите си дъги.

[lz1mak]

Благодаря ви, г-жо Симеонова

Трябваха ми два дни да разбера как ъгъл PIQ=180- alfa
Сега вече всичко е разбрано. Сърдечни благодарности и весели празници!

[ganka simeonova]

Съжалявам, може би трябваше да го обясня по-подробно. Просто е ъгъл в четириъгълник, на който съседните ъгли имат сбор 180. Значи срещуположният е 180- ъгъла. Точно тук ползваме радиусите, които са перпендикулярни в допирните точки на вписаната окръжност.

[lz1mak]

Съжалявам, може би трябваше да го обясня по-подробно. Просто е ъгъл в четириъгълник, на който съседните ъгли имат сбор 180. Значи срещуположния е 180- ъгъла. Точно тук ползваме радиусите, които са перпендикулярни в допирните точки на вписаната окръжност.

Г-жо Симеонова,

много се радвам на всяко решение и напътствие от вас. Супер! Аз някак си си бях обяснил по друг начин за ъгъл PIQ,
вашето предложение е по-рационално. Благодаря ви