Среда на отсечка в успоредник

[Гост]

диагоналите на успоредника ABCD се пресичат в точка О. Права през О пресича страните АВ и СD съответно в точките M и N. Докажете, че О е средата на отсечката MN

[s.karakoleva]

Разглеждаме [tex]\triangle ABD.[/tex] O е среда на [tex]BD[/tex]. Построяваме права през O, успоредна на AB, която пресича AD в средата 'и точка P. PO е средна отсечка в [tex]\triangle ABD[/tex] и следователно [tex]PO\parallel AB[/tex].

Разглеждаме трапеца AMND. P е среда на AD и правата [tex]PO\parallel AM, PO\parallel DN[/tex]. Следователно правата PO пресича MN в средата 'и, откъдето следва, че О е среда и на MN.

[Xixibg]

Това е задача за 7-ми клас и всички тези неща са излишни...
[tex]\triangle AMO,\triangle CNO[/tex] са еднакви по 2-ри признак
[tex]1.\angle AOM=\angle CON[/tex] като връхни
[tex]2.\angle MAO=\angle NCO[/tex] като кръстни
[tex]3.AO=CO[/tex] диагоналите в успоредник се разполовяват от пресечната си точка
[tex]=>MO=NO[/tex] като съответни елементи в еднакви триъгълници