Задача от учебника за 8 клас на Архимед

[Гост]

Единият остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е alpha . Намерете ъглите, под които центърът на вписаната окръжност"вижда" катетите.(стр.197 зад.5)

[ева]

[tex]\angle[/tex]АОС=135[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] ; [tex]\angle[/tex]ВОС=90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]

[Davids]

[tex]\angle[/tex]АОС=135[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] ; [tex]\angle[/tex]ВОС=90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]

И да разширим малко пояснително:
Имаш общо взето два подхода към задачата (но и двата се въртят около едно и също нещо).

I) Известно е, че във всеки триъгълник централният ъгъл, сключен между двете ъглополовящи от краищата на страната $c$ с връх - центъра на вписаната окръжност (където те се и пресичат), е с големина $90^{\circ}$ плюс половината от ъгъла срещу тази страна $c$. Тоест, ако $O$ е центъра на вписаната, за ъглите важи:
$\angle BOC = 90 + \frac{\angle BAC}{2} = 90 + \frac{\alpha}{2}$
$\angle AOC = 90 + \frac{\angle ABC}{2} = 90 + \frac{90 - \alpha}{2} = 135 - \frac{\alpha}{2}$

II) знаеш, че центърът на вписаната лежи върху пресечната точка на ъглополовящите, следователно ще разгледаме отделните триъгълници.
От $\Delta AOC \Rightarrow \angle OAC = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle OCA = \frac{90}{2} = 45^{\circ}$. Тогава $\angle AOC = 180 - (\frac{\alpha}{2} + 45) = 135 - \frac{\alpha}{2}$. Аналогично и $\angle BOC = 90 + \frac{\alpha}{2}$