Симетрала на отсечка

[Гост]

Даден е вписаният в окръжност четириъгълник ABCD. Точките М и N са среди съответно на страните AB и CD. Пресечната точка на диагоналите е S, като от нея са спуснати перпендикуляри съответно към BC и AD, които пресичат страните в точките Q и P. Докажете, че MN e симетрала на PQ.

[didi_879]

Някой може ли да реши задачата?

[inveidar]

Ще се пробваме. Изчакай малко.

[inveidar]

folklor.png (43.79 KiB) Прегледано 317 пъти

Докажете, че [tex]\Delta MPK[/tex] [tex]\simeq[/tex][tex]\Delta MQL[/tex], където [tex]K[/tex] и [tex]L[/tex] са средите съответно на отсечките [tex]AS[/tex] и [tex]BS[/tex]. Чертежа ще ви ориентира как, надявам се. От еднаквостта следва, че [tex]MP=MQ[/tex], т.е [tex]M[/tex] принадлежи на симетралата на [tex]PQ[/tex]. Аналогично доказваме, че [tex]N[/tex] също е от симетралата на [tex]PQ[/tex], т.е [tex]MN[/tex] е симетралата на [tex]PQ[/tex]. С това задачата е решена.
Не случайно именувах картинката фолклор, защото задачата е давана къде ли не.

[didi_879]

Благодаря!