Да се докаже

[Гост]

Да се докаже, че ако [tex]\frac{1}{ a}+\frac{1}{b } +\frac{1}{ c} =0[/tex], то[tex]\frac{bc}{a^2 } +\frac{ca}{b^2 } +\frac{ab}{ c^2} =3[/tex]

[kmitov]

[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}[/tex]
[tex]\frac{1}{c}=-\frac{a+b}{ab}, \ \ \ \ c=-\frac{ab}{a+b}[/tex]
Заместваме и преобразуваме лявата страна
[tex]-\frac{ab}{a+b}\left(\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}\right)+ab\left(\frac{a+b}{ab}\right)^2[/tex]
[tex]=-\frac{ab}{a+b}\frac{b^3+a^3}{a^2b^2}+\frac{(a+b)^2}{ab}[/tex]
[tex]=-\frac{a^2-ab+b^2}{ab}+\frac{a^2+2ab+b^2}{ab}[/tex]
[tex]=\frac{-a^2+ab-b^2+a^2+2ab+b^2}{ab}=\frac{3ab}{ab}=3[/tex]

[Гост]

Много благодаря!

[math10.com]

Ето за забавление още едно решение с малко трансформации.Дадена е познатата задача:
Ако [tex]x+y+z=0[/tex] то [tex]x^3+y^3+z^3=3xyz[/tex]
Повдигаме на 3 -та степен първия израз и получаваме:[tex](x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3xz(x+z)+3yz(y+z)+6xyz=0[/tex]
[tex]x+y=-z ; x+z=-y ; y+z=-x[/tex] и замествайки получаваме:[tex]x^3+y^3+z^3-3xyz-3xyz-3xyz+6xyz=0[/tex]
откъдето: [tex]x^3+y^3+z^3=3xyz[/tex]
Сега нека положим [tex]ab=x ; ac=y ; bc=z ; =>x+y+z=ab+ac+bc=abc(\frac{ab}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{bc}{abc})=abc(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=0[/tex] (Може да разделим на abc тъй като по условие те участват в знаменател т.е са различни от 0)
[tex]\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3}{a^2b^2c^2}=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=3[/tex]
откъдето:[tex]x^3+y^3+z^3=3xyz[/tex] , което вече доказахме