Геометрия

[Гост]

В триъгълник АВС точката М е средата на страната ВС, точка N лежи на страната АС, като АN=2CN, а Р е точка от правата АВ, за която В е средата на отсечката СР. Да се докаже, че точките М, N ,Р лежат на една права.

[Alex98]

ABC.PNG (1.8 KiB) Прегледано 269 пъти

Нека [tex]BC\cap PN=M[/tex]
Построяваме точка [tex]Q[/tex] среда на [tex]PN[/tex]
следователно [tex]BQ||AC ;BQ=\frac{1}{2}AN (BQ[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle APN)[/tex]
Разглеждаме [tex]\triangle CNM , \triangle BQM[/tex]
[tex]1. BQ=\frac{1}{2}AN=CN[/tex]
[tex]2.\angle CNM=\angle BQM[/tex] като кръстни
[tex]3.\angle NCM=\angle QBM[/tex] като кръстни
следователно [tex]\triangle CNM[/tex] е еднакъв на [tex]\triangle BQM[/tex] по 2-ри признак
следователно [tex]CM=BM[/tex] като съответни страни в еднакви триъгълници
следователно средата [tex]M[/tex] на страната [tex]BC[/tex] лежи на правата [tex]PN[/tex]

Ето и една теорема , с която лесно се доказва задачата:
Теорема на Менелай:
Ако дадена права пресича страните [tex]AB,BC , AC[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex] (или техните продължения) съответно в точки [tex]P,M,N[/tex] то е в сила равенството:[tex]\frac{AP}{PB}.\frac{BM}{MC}.\frac{CN}{NA}=1[/tex]

[Гост]

Благодаря много!