Геометрия - да се докаже, че точките лежат на една права

[Гост]

В успоредник ABCD точка М е средата на страната CD, точка N лежи на страната ВС, като ВN : NC= 1:2, а точка Р лежи на продължението на АВ, като АР : ВР= 5:1. Да се докаже, че точките М,N, P лежат на една права и да се определи отношението PN : NM.

[Гост]

Изрази векторите PN и PM чрез векторите AB и AD. Ще ги получиш колинеарни и си я решил....

[math10.com]

SrO.png (16.97 KiB) Прегледано 3531 пъти

Тъй като някои учители пренебрегват предаването на вектори ето и едно планиметрично решение.
Построяваме точка [tex]Q[/tex] среда на [tex]CN[/tex]
Нека [tex]QT||DC ; T\in MN[/tex].Следователно [tex]QT[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle CMN[/tex]
Нека [tex]AB=CD=4x[/tex] от [tex]AP:BP=5:1[/tex] следва , че [tex]BP=x[/tex]
[tex]M[/tex] е среда на [tex]CD[/tex] по условие , следователно [tex]CM=DM=2x[/tex], следователно [tex]QT=x[/tex]
Нека [tex]BN=y[/tex] от [tex]BN:CN=1:2[/tex] следва , че [tex]CN=2y[/tex]
следователно [tex]CQ=QN=y[/tex] по построение
[tex]\triangle BPN,\triangle QTN[/tex] са еднакви по 1-ви признак
[tex]1.BP=QT=x ; 2.BN=QN=y ; 3. \angle PBN=\angle TQN[/tex] , като кръстни [tex](TQ||BP)[/tex]
Следователно [tex]\angle BNP=\angle QNT[/tex] , като СЕЕТ
Следователно [tex]\angle BNP,\angle QNT[/tex] са връхни (имат равна мярка и по едно рамо лежащо на една права)
Следователно [tex]P,N,T[/tex] лежат на една права
Следователно [tex]P,N,M[/tex] лежат на една права

[inveidar]

Може и по-лесно. Продължаваме MN до пресичането и с правата АВ в точка К. От подобието на триъгълниците MCN и KBN следва, че [tex]\frac{MC}{KB }=\frac{CN}{NB } =\frac{2}{1 }[/tex]. Тогава, ако МС=2x, то КВ=x и АВ=4x и [tex]\frac{AK}{KB }=\frac{5}{1 }[/tex]. Последното означава, че К съвпада с Р.

[monika_at]

Може и по-лесно. Продължаваме MN до пресичането и с правата АВ в точка К. От подобието на триъгълниците MCN и KBN следва, че [tex]\frac{MC}{KB }=\frac{CN}{NB } =\frac{2}{1 }[/tex]. Тогава, ако МС=2x, то КВ=x и АВ=4x и [tex]\frac{AK}{KB }=\frac{5}{1 }[/tex]. Последното означава, че К съвпада с Р.

Задачата е пусната в раздела за 8 клас:)

[venellinuis]

Мисля че с вектори все пак е по-правилния начин за 8 клас.
Изразяваме векторите:
PN=BC/3 - AB/4= 1/12(4BC-3AB)
PM=BC-3.AB/4=1/4(4BC-3AB)
=> PM = k * PN (k= 4BC-3AB) => PM||PN и тъй като имат и обща точка => М и Н лежат на една права