Ъглополовящите се пресичат в 1 точка

[Гост]

Здравейте, трябва да докажа, че ъглополовящите в триъгълника се пресичат в една точка.Не ми е ясно как да го направя, четох за свойста на ъглополовяща, но...
Някой може ли да помогне?
Гледах тази тема:
viewtopic.php?f=36&t=5340
но ми трябва цялото решение, защото не знам как е...
Благодаря предварително!

[Гост]

Не се тревожи, те и без твоето доказателство пак ще се пресичат в една точка.

[Гост]

Някой може ли да помогне с доказателството?

[pal702004]

Една точка е равноотдалечена от раменете на даден ъгъл тогава и само тогава, когато лежи на ъглополовящата на дадения ъгъл. Не знам дали това свойство може да се използва наготово, но доказателството и в едната, и в другата посока е лесно - чрез еднакви триъгълници.

И нека т.О е пресечна точка на две от ъглополовящите на триъгълника. С помощта на горното свойство се доказва, че тя е равноотдалечена от раменете на третият ъгъл ([tex]d_1=d_2,\quad d_2=d_3 \Rightarrow d_1=d_3[/tex]), а следователно (пак съгласно горното свойство) т.О лежи на ъглополовящата на третият ъгъл.

[Гост]

А това d1...какво се явява, дължина или?

[pal702004]

А това d1...какво се явява, дължина или?

Разстоянието от точка О до страната AC.

Е равно на разстоянието от точка О до страната AB (защото точка О лежи на ъглополовящата на ъгъл А)
А разстоянието от т.О до страната AB е равно на разстоянието от т.О до страната BC (защото точка О лежи на ъглополовящата на ъгъл B)

Следователно:
Разстоянието от точка О до страната AC е равно на разстоянието от т.О до страната BC.
Тоест, т.О лежи на ъглополовящата на ъгъл C.

[Гост]

Много благодаря за помоща!