Задача с окръжност

[stanislavrs]

Здравейте, понеже не ги разбирам много тези задачи, реших да попитам тук. Не мога да реша следната задача -

Знам, че е от най-лесните, но както казах по-горе не ги разбирам. Някакви идеи? Мерси, предварително

[math10.com]

Здравей Станислав,
Задачката наистина е лесна и сега ще ти я обясня.Първо ти пиша стандартните означения в геометрията:
[tex]BC=a ; AC=b; AB=c[/tex] са дължините на страните на триъгълник
[tex]JM=JN=JP[/tex] са радиуси на вписаната окръжност , където [tex]M,N,P[/tex] са допирните точки на тази окръжност със страните
[tex]AB+AC+BC=a+b+c=P[/tex] е периметъра (обиколката на триъгълника),а с [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex] отбелязваме полупериметъра.
От свойството на допирателните имаме [tex]AM=AP=x ; BM=BN=y ; CN=CP=z[/tex] , като съберем тези 6 отсечки ще получим периметъра на триъгълника:
[tex]AM+BM+BN+CN+CP+AP=AB+BC+AC=P=x+y+y+z+z+x=2(x+y+z)[/tex] , от където полупериметъра [tex]p=x+y+z[/tex]
Нека забележим , че [tex]AB=x+y ; BC=y+z , AC=x+z[/tex] , тогава от последното равенство ще изразим последователно:
[tex]x=p-(y+z)=p-a ; y=p-(x+z)=p-b ; z=p-(x+y)=p-c[/tex]
Сега за лицето:Радиусите на вписаната окръжност са перпендикулярни на страните в точките на допиране т.е [tex]JM\bot AB ; JN\bot BC ; JP\bot AC[/tex] и се явяват височини съответно към страните [tex]AB, BC, AC[/tex] на [tex]\triangle ABJ,\triangle BCJ,\triangle ACJ[/tex]
[tex]S_{ABC}=S_{ABJ}+S_{BCJ}+S_{ACJ}=\frac{AB.JM}{2}+\frac{AC>JN}{2}+\frac{BC.JP}{2}=\frac{(AB+AC+BC).r}{2}=\frac{P.r}{2}=p.r[/tex]

Остана ти само да заместиш с дадените по условие в твойта задача стойности

[Гост]

Мерси много за помощта. Много добре е обяснено!