окръжности и дъги

[Гост]

Здравейте, не мога да помогна на дъщеря си с домашната и по математика. Беше доста отдавна когато бях 8 клас. Помощ, моля!
1) върху страната АВ на равностранен триъгълник АВС, като на диаметър е построена окръжност К, която пресича АС и ВС съответно в точките Р и Q. До кажи, че:
а) точките Р и Q са среди на страните.
б) дъгите АР, РQ, и QВ са равни.

2) върху страната АВ на равнобедрен триъгълник АВС, като на диаметър е построена окръжност К, която пресича АС и ВС съответно в точките Р и Q. Докажете, че:
а) отсечките СР и СQ са равни.
б) дъгите АР и QB са равни.

[Knowledge Greedy]

1а) върху страната АВ на равностранен триъгълник АВС, като на диаметър е построена окръжност К, която пресича АС и ВС съответно в точките Р и Q. До кажи, че:
а) точките Р и Q са среди на страните.
б) дъгите АР, РQ, и QВ са равни.

Да означим с [tex]O[/tex] точката среда на [tex]AB[/tex].
След като страната АВ е диаметър на окръжност К и точка P е от нея, то [tex]OP[/tex] е радиус на К и [tex]OP=\frac{1}{2 } AB[/tex]. Същото и за точка [tex]Q,[/tex] а именно [tex]OQ=\frac{1}{2 } AB[/tex].

Ако разгледаме [tex]\Delta AOP[/tex] - той е равнобедрен [tex]OP=OA[/tex] и с ъгъл при основата [tex]\angle OAP= 60^\circ[/tex] - следователно е равностранен. Това означава, че [tex]AP=AO=\frac{1}{2 } AB=\frac{1}{2 } AC[/tex] и точката [tex]P[/tex] е среда на [tex]AC[/tex].
Точно по същия начин, ако разгледаме [tex]\Delta BOQ[/tex] - той е равнобедрен [tex]OQ=OB[/tex] и с ъгъл при основата [tex]\angle OBQ= 60^\circ[/tex] - следователно е равностранен... и точката [tex]Q[/tex] е среда на [tex]BC[/tex].

1б) За втората част ще ползваме първата. Явно от[tex]\angle BOQ= 60^\circ =\angle AOP[/tex] следва, че [tex]\angle POQ= 60^\circ\[/tex], защото сборът на трите е изправеният ъгъл.
Но щом трите централни ъгъла са равни, то и прилежащите им дъги (дъгите, които отсичат раменете им от окръжността) са също равни.

2а) От равни като извадим равни получаваме какви? - Равни!
Ето
първата двойка равни [tex]AC=BC[/tex]
втората двойка равни [tex]AP=BQ[/tex]
записано последователно
[tex]AC-AP=BC-BQ[/tex]
което дава
[tex]CP=CQ[/tex]

2б) Повтаряме решението от задача 1)

[MENKA]

1 зад

[MENKA]

Задача 2

[S.B.]

Задача 1.От това,че AB е диаметър[tex]\angle[/tex] АQB =[tex]\angle[/tex]APB = 90[tex]^\circ[/tex] (измерват се с [tex]\frac{1}{2}[/tex] от дъгата AB=180[tex]^\circ[/tex] като вписани)
От това следва,че AQ[tex]\bot[/tex] BC и BP[tex]\bot[/tex]AC ,следователно са височини; Но [tex]\Delta[/tex]ABC е равностранен по условие,следователно те са и медиани и ъглополовящи [tex]\rightarrow[/tex] точките P и Q са среди съответно на AC и BC;Също така
[tex]\angle[/tex]ABP = [tex]\angle[/tex]BAQ (=30[tex]^\circ[/tex]) [tex]\rightarrow[/tex] дъгата AP = дъгата BQ (вписаните ъгли ABP и BAQ се измерват с половината от тези дъги)
[tex]\angle[/tex]ABP = 30[tex]^\circ[/tex] следователно дъгата AP = 60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BAQ = 30[tex]^\circ[/tex] следователно дъгата BQ = 60[tex]^\circ[/tex]
AB е диаметър следователно дъгата APQB = 180[tex]^\circ[/tex]
Остава че дъгата PQ= 60[tex]^\circ[/tex]
следователно дъгите AP,BQ иPQ са равни на по 60[tex]^\circ[/tex]

Задча 2.Аналогично на зад.1 AQ и BP са височини към бедрата AC иBC тъй като [tex]\angle[/tex]AQB = [tex]\angle[/tex]APB = 90[tex]^\circ[/tex]
тогава [tex]\Delta[/tex]AQC [tex]\cong[/tex] [tex]\Delta[/tex]BPC ( II признак):
AC = BC ;[tex]\angle[/tex]C е общ; [tex]\angle[/tex]AQC = [tex]\angle[/tex]BPC = 90[tex]^\circ[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] PC = QC
AP = AC - PC
BQ = BC - QC
но AC=BC и PC = QC [tex]\Rightarrow[/tex] AP= BQ

[S.B.]

Задача 1.От това,че AB е диаметър[tex]\angle[/tex] АQB =[tex]\angle[/tex]APB = 90[tex]^\circ[/tex] (измерват се с [tex]\frac{1}{2}[/tex] от дъгата AB=180[tex]^\circ[/tex] като вписани)
От това следва,че AQ[tex]\bot[/tex] BC и BP[tex]\bot[/tex]AC ,следователно са височини; Но [tex]\Delta[/tex]ABC е равностранен по условие,следователно те са и медиани и ъглополовящи [tex]\rightarrow[/tex] точките P и Q са среди съответно на AC и BC;Също така
[tex]\angle[/tex]ABP = [tex]\angle[/tex]BAQ (=30[tex]^\circ[/tex]) [tex]\rightarrow[/tex] дъгата AP = дъгата BQ (вписаните ъгли ABP и BAQ се измерват с половината от тези дъги)
[tex]\angle[/tex]ABP = 30[tex]^\circ[/tex] следователно дъгата AP = 60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BAQ = 30[tex]^\circ[/tex] следователно дъгата BQ = 60[tex]^\circ[/tex]
AB е диаметър следователно дъгата APQB = 180[tex]^\circ[/tex]
Остава че дъгата PQ= 60[tex]^\circ[/tex]
следователно дъгите AP,BQ иPQ са равни на по 60[tex]^\circ[/tex]

Задча 2.Аналогично на зад.1 AQ и BP са височини към бедрата AC иBC тъй като [tex]\angle[/tex]AQB = [tex]\angle[/tex]APB = 90[tex]^\circ[/tex]
тогава [tex]\Delta[/tex]AQC [tex]\cong[/tex] [tex]\Delta[/tex]BPC ( II признак):
AC = BC ;[tex]\angle[/tex]C е общ; [tex]\angle[/tex]AQC = [tex]\angle[/tex]BPC = 90[tex]^\circ[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] PC = QC
AP = AC - PC
BQ = BC - QC
но AC=BC и PC = QC [tex]\Rightarrow[/tex] AP= BQ

Съжалявам,но вместо да докажа ,че дъгите AP и QB са равни ,аз съм доказала,че отсечките AP и BQ са равни.Ще допълня доказателството:
От еднаквостта на [tex]\Delta[/tex]AQC и [tex]\Delta[/tex] BPC следва,че и [tex]\angle[/tex]PBC = [tex]\angle[/tex]QAC
От условието имаме,че [tex]\angle[/tex]ABC = [tex]\angle[/tex]BAC (понеже [tex]\Delta[/tex] ABC е равнобедрен)
но [tex]\angle[/tex]ABC = [tex]\angle[/tex]ABP + [tex]\angle[/tex]PBC
[tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\angle[/tex]BAQ + [tex]\angle[/tex]QAC
от където е видно,че [tex]\angle[/tex]BAQ = [tex]\angle[/tex]ABP,
но [tex]\angle[/tex]BAQ = [tex]\frac{1}{2}[/tex]от дъгата BQ
[tex]\angle[/tex]ABP = [tex]\frac{1}{2}[/tex]от дъгата AP
следователно дъгата BQ = дъгата AP