Задачи от разлагане, за днес!

[Гост]

x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(y-x)
x^2+6x-y^2-4y+5
(a^2+a+4)2+8a(a^2+a+4)+15a^2

[Knowledge Greedy]

[tex]x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(y-x)=[/tex]

В средните скоби изваждаме едно [tex]y[/tex] и го добавяме отново
[tex]=x^3(y-z)+y^3(z-y+y-x)+z^3(y-x)=[/tex]

[tex]=x^3(y-z)+y^3[(z-y)+(y-x)]+z^3(y-x)=[/tex]
Разкриваме само правоъгълните скоби
[tex]=x^3(y-z)+y^3(z-y)+y^3(y-x)+z^3(y-x)=[/tex]

[tex]=x^3(y-z)-y^3(y-z)+y^3(y-x)+z^3(y-x)=[/tex]

Групираме първия и втория израз (изнасяме [tex](y-z)[/tex] пред скоби) и отделно групираме третия и четвъртия израз (изнасяме [tex](y-x)[/tex] пред скоби)

[tex]=(y-z)(x^3-y^3)+(y-x)(y^3+z^3)=[/tex]

[tex]=(y-z)(x-y)(x^2+xy+y^2)+(y-x)(y+z)(y^2+yz+z^2)=[/tex]

[tex]=(y-z)(x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)(y+z)(y^2+yz+z^2)=[/tex]

Изнасяме [tex](x-y)[/tex] пред скоби
[tex]=(x-y)[(y-z)(x^2+xy+y^2)-(y+z)(y^2+yz+z^2)]=[/tex]

Разкриваме скобите на изразите, които са в правоъгълните скоби (правоъгълните скоби стават обикновени)
[tex]=(x-y)(yx^2+xy^2+y^3-x^2z-xyz-y^2z-y^3-y^2z-yz^2-y^2z-yz^2-z^3)=[/tex]

Унищожаваме едночлените с противоположни коефициенти и извършваме действията с подобните едночлени
[tex]=(x-y)(x^2y+xy^2+\cancel {y^3}-x^2z-xyz-3y^2z-\cancel {y^3}-2yz^2-z^3)=[/tex]

[tex]=(x-y)(x^2y+xy^2-x^2z-xyz-3y^2z-2yz^2-z^3)[/tex]

Тежкият отговор се получи поради промененото условие на задачата. В повечето сборници у нас - произхождащи от руския - на П. А. Ларичев, задачата е за разлагането на
[tex]x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)[/tex].

[Knowledge Greedy]

Във втората задача [tex]x^2+6x-y^2-4y+5[/tex]

променливите [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са разделени и можем да отделим два точни квадрата
[tex]x^2+6x+9-(y^2+4y+4)[/tex],
след което да ползваме формулата [tex]u^2-v^2=...[/tex] за разлика на два квадрата.

В третата задача [tex](a^2+a+4)^2+8a(a^2+a+4)+15a^2[/tex]

големият и страшен израз [tex]a^2+a+4[/tex] може да означим с едно [tex]x[/tex].
Тогава задачата става
[tex]x^2+8ax+15a^2[/tex]

и като групираме примерно така [tex](x^2+3ax)+(5ax+15a^2)[/tex]
я разлагаме веднага с изнасяне на общ множител във всяка двойка скоби, и след това още един общ множител (x+3a).
На края не бива да забравяме, какво беше [tex]x[/tex] и да довършим разлагането - като в отговора има само [tex]a[/tex].