Вектори

[Гост]

Точките M и N са средите съответно на страните AD и BC на успоредника ABCD.

Докажете, че:

а) лъчът MN е еднопосочен с лъчите AB и DC
б) лъчът MN е противопосочен с лъчите BA и CD

[Knowledge Greedy]

Писал съм надолу подробно, но решението е само под последния чертеж.
Ще започнем с означения, определения, основни твърдения (аксиоми) и теореми.

През две точки в равнината минава само една права.

Всяка права [tex]g[/tex] в равнината дели равнината на две полуравнини [tex]///\lambda[/tex] и [tex]///\bar{\lambda}[/tex]. Тогава правата [tex]g[/tex] наричаме контур на всяка от тези полуравнини.

Успоредните прави в една равнина са прави, които нямат обща точка.

Как можем да познаем, че две точки [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са в една и съща полуравнина с контур [tex]g[/tex]? Ами като погледнем свързващата ги отсечка [tex]AB[/tex] . Ако [tex]AB[/tex] пресича [tex]g[/tex], то точките са в различни полуравнини.
Ако отсечката [tex]AB[/tex] не пресича [tex]g[/tex], то точките са в една и съща полуравнина с контур [tex]g[/tex].

Кога два лъча [tex]PX^{\rightarrow}[/tex] и [tex]QY^{\rightarrow}[/tex] върху успоредни прави са еднопосочни?

Ако са върху успоредни прави, свързваме техните начала [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex]. Това е правата [tex]g[/tex]. Да свържем и двойка точки [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex] от двата лъча. Ако получената отсечка [tex]PQ[/tex] не пресича правата [tex]g[/tex], то лъчите са еднопосочни.

Еднопосочни лъчи.PNG (1.67 KiB) Прегледано 411 пъти

Това е моето упътване, как да се реши задачата

Точките M и N са средите съответно на страните AD и BC на успоредника ABCD.
Докажете, че: а) лъчът MN е еднопосочен с лъчите AB и DC;

Кога два лъча [tex]PX^{\rightarrow}[/tex] и [tex]QY^{\rightarrow}[/tex] върху успоредни прави са противопосочни?

Ако са върху успоредни прави, свързваме техните начала [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex]. Това е правата [tex]g[/tex]. Да свържем и двойка точки [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex] от двата лъча. Ако получената отсечка [tex]PQ[/tex] пресича правата [tex]g[/tex], то лъчите са противопосочни.

Противопосочни лъчи.PNG (2.27 KiB) Прегледано 411 пъти

Ще решим задачата.
Точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са средите съответно на страните [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] на успоредника [tex]ABCD.[/tex]
Докажете, че: б) лъчът [tex]MN^{\to}[/tex] е противопосочен на всеки от лъчите [tex]BA^{\to}[/tex] и [tex]CD^{\to}[/tex].

Задачата за противопосочните лъчи.PNG (4.5 KiB) Прегледано 411 пъти

Доказателство. Първо ще докажем, че правите [tex]AB[/tex] и [tex]MN[/tex] са успоредни. Това е така, защото [tex]AM||BN[/tex] като части от успоредните страни на успоредника. Освен това [tex]AM=BN[/tex], като части от равните страни [tex]AD[/tex] и [tex]BCN[/tex] на успоредника. Следователно [tex]ABNM[/tex] е успоредник. Значи [tex]AN||BM[/tex].

Свързваме началата на лъчите [tex]MN^{\to}[/tex] е и [tex]BA^{\to}[/tex]. На чертежа това е зелената права [tex]g[/tex]. Вземаме по една точка от двата лъча - точките [tex]N[/tex] и [tex]A[/tex], и също ги свързваме. Отсечката [tex]NA[/tex] пресича отсечката [tex]BM[/tex]
(те са диагонали на успоредника).
Следователно лъчите [tex]MN^{\to}[/tex] е и [tex]BA^{\to}[/tex] са в различни полуравнини (- жълтата и синята)
с контур правата [tex]g[/tex]. А това означава, че те са противопосочни.