Вектори

[Гост]

Тази задача ще я има на контролната ни утре ....... ако може бързо и простичко решение, а не дълги обяснения,защото това ни е едва от първия урок.
Точките M и N са средите съответно на страните AD и BC на успоредника ABCD.
Да се докаже:
1) лъчът MN е еднопосочен с лъчите AB и DC
2) лъчът MN е противопосочен с лъчите BA и CD

[Knowledge Greedy]

Точките M и N са средите съответно на страните AD и BC на успоредника ABCD.
Да се докаже:
1) лъчът MN е еднопосочен на лъча DC.
2) лъчът MN е противопосочен на лъча BA.
Доказателство на 1. Първо ще докажем, че правите [tex]DC[/tex] и [tex]MN[/tex] са успоредни. Това става точно така, както и в доказателството на 2.

Задачата за eднопосочните лъчи.PNG (3.8 KiB) Прегледано 257 пъти

След това вземаме по една точка от двата лъча - точките [tex]C[/tex] и [tex]N[/tex]. Свързващата ги отсечка [tex]CN[/tex] не пресича правата [tex]MD[/tex], което означава, че лъчите [tex]MN^{\to}[/tex] е и [tex]DC^{\to}[/tex] са в една и съща полуравнина ( [tex]\bar{\mu }[/tex]) с контур правата [tex]MD[/tex]. Заедно с успоредността на правите [tex]DC[/tex] и [tex]MN[/tex], това означава, че лъчите [tex]MN^{\to}[/tex] и [tex]DC^{\to}[/tex] са еднопосочни.

Доказателство на 2. Първо ще докажем, че правите [tex]AB[/tex] и [tex]MN[/tex] са успоредни. Това е така, защото [tex]AM||BN[/tex] като части от успоредните страни на успоредника. Освен това [tex]AM=BN[/tex], като части - половинки от равните страни [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] на успоредника. Следователно [tex]ABNM[/tex] е успоредник. Значи [tex]AN||BM.[/tex]

Задачата за противопосочните лъчи.PNG (4.5 KiB) Прегледано 257 пъти

Свързваме началата на лъчите [tex]MN^{\to}[/tex] и [tex]BA^{\to}[/tex]. На чертежа това е зелената права [tex]g[/tex]. Вземаме по една точка от двата лъча - точките [tex]N[/tex] и [tex]A[/tex], и също ги свързваме. Отсечката [tex]NA[/tex] пресича отсечката [tex]BM[/tex] (те са диагонали на успоредника).
Следователно лъчите [tex]MN^{\to}[/tex] е и [tex]BA^{\to}[/tex] са в различни полуравнини (- жълтата и синята)
с контур правата [tex]g[/tex]. А това означава, че те са противопосочни.