Равностранен триъгълник

[Гост]

В равностранния триъгълник АВС са избрани вътрешните точки D и Е така, че ъгъл АСD=CAD=14° и ъгъл ABE=BAE=14° На колко градуса е равен ъгъл BDE?

[Евва]

30[tex]^\circ[/tex]

[S.B.]

В равностранния триъгълник АВС са избрани вътрешните точки D и Е така, че ъгъл АСD=CAD=14° и ъгъл ABE=BAE=14° На колко градуса е равен ъгъл BDE?

Без заглавие - 2020-09-21T071049.525.png (234.62 KiB) Прегледано 303 пъти

[tex]\triangle ABE \cong \triangle ACD[/tex] ( по 2-ри признак) $\Rightarrow AE = AD \Rightarrow \triangle AED$ е равнобедрен
$\angle EAD = 60^\circ - 2.14^\circ = 32^\circ \Rightarrow \angle AED = 74^\circ$
$\angle AEB = 152^\circ , \angle AED = 74^\circ \Rightarrow \angle DEB = 360^\circ - (152^\circ + 74^\circ) = 134^\circ$
$\angle EBC = 60^\circ - 14^\circ = 46^\circ$
$\angle EBC + \angle DEB = 46^\circ + 134^\circ = 180^\circ$
Но $\angle EBC$ и $\angle DEB$ са вътрешни прилежащи ъгли получени при пресичане на правите $DE$ и $BC$ с $BE$
$\Rightarrow DE || BC \Rightarrow \angle EDB = \angle DBC$ като кръстни ъгли
Построявам симетралата $S_{AC }$ на страната $AC , S_{AC } \cap AC = M$
$AB = BC \Rightarrow B\in S_{AC }, DA = DC \Rightarrow D\in S_{AC }$
$\angle DBC = \angle MBC = 30^\circ$ ( защото $\triangle ABC$ е равностранен)
$\angle BDE = \angle DBC $ като кръстни $ \Rightarrow \angle DBE = 30^\circ$