Медицентър и вектори

[yasen]

Ако точка G е медицентърът на [tex]\Delta[/tex] ABC, докажете, че е в сила равенството GA+GB+GC=0 *

*GA,GB,GC и 0 са вектори

[Добромир Глухаров]

Нека [tex]AA_1;\ BB_1;\ CC_1[/tex] са медианите.

[tex]\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\frac{2}{3}\(\vec{A_1A}+\vec{B_1B}+\vec{C_1C}\)=\frac{2}{3}\(\cancel{\vec{BA}}-\vec{BA_1}+\cancel{\vec{AB}}-\vec{AB_1}+\vec{AC}-\vec{AC_1}\)=\\=\frac{2}{3}\(\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{BC}-\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}\)=\frac{2}{3}\(\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{BC}-\frac{1}{2}\vec{AB}\)=\frac{1}{3}\(\vec{AB}-\vec{AB}\)=\vec{0}[/tex]

[Гост]

\displaystyle \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\frac{2}{3}\(\vec{A_1A}+\vec{B_1B}+\vec{C_1C}\)=\frac{2}{3}\(\cancel{\vec{BA}}-\vec{BA_1}+\cancel{\vec{AB}}-\vec{AB_1}+\vec{AC}-\vec{AC_1}\)=\\=\frac{2}{3}\(\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{BC}-\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}\)=\frac{2}{3}\(\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{BC}-\frac{1}{2}\vec{AB}\)=\frac{1}{3}\(\vec{AB}-\vec{AB}\)=\vec{0}
1
Аватар
Добромир Глухаров
Математик

Мнения: 1982
Регистриран на: 11 Яну 2010, 13:23
Рейтинг: 2061

[Добромир Глухаров]

Нека [tex]AA_1;\ BB_1;\ CC_1[/tex] са медианите.

$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\frac{2}{3}\left(\vec{A_1A}+\vec{B_1B}+\vec{C_1C}\right)=\frac{2}{3}\left(\cancel{\vec{BA}}-\vec{BA_1}+\cancel{\vec{AB}}-\vec{AB_1}+\vec{AC}-\vec{AC_1}\right)=\\=\frac{2}{3}\left(\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{BC}-\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{BC}-\frac{1}{2}\vec{AB}\right)=\frac{1}{3}\left(\vec{AB}-\vec{AB}\right)=\vec{0}$

[venellinuis]

Нека да построим успоредни прави на AG и BG , така че "под" АБ се оформи успоредник AGBG1. В него GG1 e диагонал, като GG1 =CG (G дели медианите 2:1)
Тогава векторите GG1 + GС =0 (равни по големина и обратни по посока)
GG1 = GА + GВ=> GА + GВ + GС =0