Медиани в триъгълник

[Гост]

Докажете, че медианите в един триъгълник го разполовяват на 6 равнолицеви триъгълника.

[Zarrie]

Постр. [tex]CH \bot AB, AH_{1} \bot BC, BH_{2} \bot AC[/tex]
от това, че точките [tex]A_{1}, B_{1}, C_{1}[/tex] са среди
[tex]\Rightarrow S_{AC_{1}C} = S_{BC_{1}C}[/tex]
[tex]S_{AA_{1}B} = S_{CA_{1}A}[/tex]
[tex]S_{BB_{1}C} = S_{BB_{1}A}[/tex]
Построявайки височините в трите големи триъгълника, образувани от медианите, от точката [tex]G[/tex]
И от това точките, които са среди на страните ([tex]A_{1}, B_{1}, C_{1}[/tex])
[tex]\Rightarrow S_{AC_{1}G} = S_{BC_{1}G}[/tex]
[tex]S_{BA_{1}G} = S_{CA_{1}G}[/tex]
[tex]S_{CB_{1}G} = S_{AB_{1}G}[/tex]
[tex]S_{AC_{1}C} - S_{AC_{1}G} = S _{AGC} \cup S_{BC_{1}C} - S_{BC_{1}G} = S_{BGC} \Rightarrow S_{AGC} = S_{BGC}[/tex]
Аналогично и за другите два триъгълника и като заключение следва, че шесте триъгълника имат равни лица

[ptj]

Може без височини като се използва формулата [tex]S=a.b.sin(\gamma)[/tex].

Тогава медианата [tex]CC_1[/tex] разделя триъгълника на два равнолицеви.
Докато от свойството на медицентъра [tex]CG:GC_1=2:1 \Leftrightarrow GC_1:CC_1=1:3[/tex] следва [tex]S_{AC_1G}:S_{AC_1C}=1:3[/tex],
т.е. [tex]S_{AC_1G}:S_{ABC}=1:6[/tex].

[S.B.]

Може без височини като се използва формулата [tex]S=a.b.sin(\gamma)[/tex].

Можеше и да може ако задачата не беше за 8 клас,където все още не се изучава тригонометрия...