Остроъгълен триъгълник.

[sladurankata]

Даден е остроъгълен триъгълник АВС. АМ и ВN са височини. Ъгъл АСВ е 60градуса. Да се докаже че MN е половината от АВ.

[inveidar]

Означи с точка К средата на АВ и свържи К с М и N. От теоремата за медианата към хипотенузата получаваш AK=KB=KM=KN. След това изразяваш ъгъл NKM като разлика на 180 градуса и ъглите AKN и BKM. Последните пък намираш от равнобедрените триъгълници ANK и BMK(изразяваш ги чрез ВАС и АВС!). Лесно получаваш, че ъгъл NKM е равен на 60 градуса. Сега от равнобедрения триъгълник NKM с ъгъл 60 градуса следва, че той е равностранен и от там MN=NK=MK=AK=KB, като използваме предишните доказани равенства.

[monika_at]

Задачата е за 8 клас и може да се реши с вписан четириъгълник.