Задача с хорди и вектори

[Гост]

В окръжност с център О са построени две взаимноперпендикулярни хорди АВ и СД, които се пресичат в т.М. Да се докаже, че
2ОМ(вектор) е равен на ОА(вектор)+ОВ(вектор) + ОС(вектор) + ОД(вектор).

[ptj]

Нека [tex]N,P[/tex] са среди съответно на [tex]AB,CD[/tex].

[tex]\vec{ON}=\frac{1}{2}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OB}[/tex]

[tex]\vec{OP}=\frac{1}{2}\vec{OC}+\frac{1}{2}\vec{OD}[/tex]

Сумираме левите и десните страни на горните 2 равенства и получаваме:

[tex]2(\vec{ON}+\vec{OP})=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}[/tex]

Знаем, че диаметър перпендикулярен на хорда я разполовява, тогава четириъгълника [tex]ONMP[/tex] е правоъгълник.

[tex]\vec{ON}=\vec{PM}\Rightarrow\vec{OM}=\vec{OP}+\vec{PM}=\vec{OP}+\vec{ON}\Rightarrow[/tex]

[tex]2\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}[/tex]