Трапец

[sladurankata]

Даден трапец АВСD. Ab e успоредна на СD. AC=BD=AB. M e среда на СD. Ъгъл МВС= ъгъл САВ. Да се намерят ъглите на трапеца.

[Knowledge Greedy]

Въвеждаме означенията: отсечките [tex]AM=BM=m[/tex]; основата и диагоналите [tex]AC=BD=AB=d[/tex]; ъгълът [tex]\varphi[/tex] при върха на равнобедрения триъгълник [tex]\Delta BCA[/tex] ; ъгълът [tex]\beta[/tex] при основата на същия равнобедрен триъгълник .

Трапецът с ъглите 1.png (5.67 KiB) Прегледано 199 пъти

Следователно[tex]\angle AMB=180^\circ-2(\beta - \varphi)[/tex].
По синусова теорема за [tex]\Delta ABM \,\ \,\ \Rightarrow \,\ \,\ \frac{m}{sin(\beta - \varphi)}=\frac{d}{sin(180-2(\beta - \varphi))}[/tex]

Допълнително построяваме [tex]CN||BM[/tex] като [tex]N\in AB^{\rightarrow}[/tex] (чертеж 2).

Трапецът с ъглите 2.png (5.53 KiB) Прегледано 199 пъти

По синусова теорема за [tex]\Delta ANC \,\ \,\ \Rightarrow \,\ \,\ \frac{m}{sin( \varphi)}=\frac{d}{sin(\beta - \varphi)}[/tex]

Към двете получени зависимости добавяме очевидната [tex]\varphi +2\beta =180^\circ[/tex].

От трите зависимости извеждаме [tex]tg3 \beta = 2sin2 \beta[/tex],
което дава
[tex]cos 2 \beta=-\frac{\sqrt{3}}{2} \,\ \,\ \Rightarrow \,\ \beta=75^\circ[/tex].