Задача с триъгълник

[Гост]

Здравейте.Имам затруднения с една задача: Височината, ъглополовящата и медианата през върха С на триъгълника АВС делят ъгъла при този връх на 4 равни части.Да се намерят ъглите на триъгълника.
Много пъти съм прибягвала до услугите Ви. Затова Ви благодаря предварително.

[ptj]

triygylnik.GIF (8.92 KiB) Прегледано 278 пъти

[tex]\alpha=67^\circ 30'; \beta= 22^\circ 30';\gamma=90^\circ[/tex]

[tex]CM=MC_1[/tex], т.е. [tex]AC_1BM[/tex] се явява успоредник.

[inveidar]

Уникално упътване!!! И не е този четириъгълник, а и какво като е успоредник?

[ptj]

[tex]\angle CMB=90^\circ+2x[/tex]

[tex]\angle ACB=90^\circ-x[/tex]

Знаем, че правоъгълния триъгълник средата на хипотенузата е център на описана окръжност, тогава [tex]\angle ACB=2\angle CMB\Leftrightarrow 4x=90^\circ[/tex], т.е. исканото условие е изпълнено.

Единствеността на решението не е трудна за доказване.

[inveidar]

[tex]\angle CMB=90^\circ+2x[/tex]

[tex]\angle ACB=90^\circ-x[/tex]

Знаем, че правоъгълния триъгълник средата на хипотенузата е център на описана окръжност, тогава [tex]\angle ACB=2\angle CMB\Leftrightarrow 4x=90^\circ[/tex], т.е. исканото условие е изпълнено.

Единствеността на решението не е трудна за доказване.

Отново уникално! [tex]\angle ACB=90^\circ-x[/tex] ?! Този ъгъл не е ли просто 90 градуса по твоите упътвания?!
Като не можеш да решиш задачата, не се напъвай, защото може да направиш някоя беля!

[ptj]

Да, объркал съм го. Не [tex]\angle ACB[/tex], a [tex]\angle CAB=90^\circ-x[/tex].

[tex]\angle CMB=90^\circ+2x[/tex]

Знаем, че правоъгълния триъгълник средата на хипотенузата е център на описана окръжност, тогава [tex]\angle CAB=2\angle CMB[/tex] (единия е вписан, а другия централен ъгъл). Последното равенство води до [tex]4x=90^\circ[/tex], т.е. исканото условие е изпълнено.

[Гост]

http://2000clicks.com/mathhelp/Geometry ... ector.aspx

Съжалявам че е на английски, но мисля че е лесно разбираемо. Приведените до тук доказателства, не решават задачата, поне според мен.

[inveidar]

http://2000clicks.com/mathhelp/GeometryTriangleRightMedianAndAltitudeAreReflectionsAboutBisector.aspx

Съжалявам че е на английски, но мисля че е лесно разбираемо. Приведените до тук доказателства, не решават задачата, поне според мен.

Готин, защо цитираш тези източници, когато задачата я има решена в учебника на Анубис?! Тази, която цитираш и с помоща на която следва елементарно дадената.

[Гост]

Ами тоя учебник съм го пропуснал.

[Knowledge Greedy]

Ето едно решение за тези, които са запознати с окръжност и окръжност, описана около триъгълник.

медиана височина ъглополовяща.PNG (21.46 KiB) Прегледано 247 пъти

Ако опишем окръжност около дадения триъгълник, ъглополовящата [tex]CL^{\rightarrow}[/tex] ще я пресече в средата [tex]N[/tex] на дъгата [tex]\widehat{AB}[/tex]
Точките [tex]M \,\ и \,\ N[/tex] са от симетралата на[tex]AB[/tex], следователно [tex]MN\bot AB \,\ \Rightarrow \,\ MN||CH[/tex]

Оттук ъглите [tex]\angle MNC=\angle NCH =\varphi[/tex] - като кръстни.

Но [tex]\angle MCN =\varphi[/tex] и тогава [tex]\Delta NCM[/tex] е равнобедрен. Значи точката [tex]M[/tex] е от симетралата на хордата [tex]NC[/tex].
Знаем, че центърът на окръжността - точката [tex]O[/tex] е от всички симетрали на хорди в окръжността.
Ако допуснем, че точка [tex]M[/tex] не съвпада с точка [tex]O[/tex], то симетралите [tex]s_{AB}||s_{CN}[/tex]

Последният факт означава, че правите [tex]AB||CN[/tex], което е невъзможно, т.к. се пресичат в точка [tex]L[/tex].
Остава [tex]M\equiv O[/tex]. Значи [tex]AB[/tex] е диаметър, [tex]\angle ACB=90^\circ[/tex] и другото е лесно.